_: Thèse Disciplines : Mécanique des Fluides , Energétique , Thermique et Combustion Modélisation d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait . Application aux jets et sillages épais ( profils rigides ou déformables ) avec validation expérimentale . A l' université d' Orléans Pour obtenir le grade de Docteur de l' université d' Orléans PAR Régine WEBER Soutenue le 3 novembre 1999 . Membres du jury : J. COIRIER Professeur CNRS Poitiers Président du jury F . DIAS Directeur de Recherche ENS Cachan Rapporteur de soutenance J. HUREAU Professeur Université Orléans J . - C . LENGRAND Directeur de Recherche CNRS Orléans M. MUDRY Professeur Université Orléans J . - M . VANDEN-BROECK Professeur Université East Anglia & 226;& 128;& 147; Norwich A mes parents , Chantal , Françoise , Anne-Sophie Justine , Charlotte et Olivier REMERCIEMENTS Cette thèse s' est déroulée au Laboratoire de Mécanique et d' Energétique de l' Ecole Supérieure de l' Energie et des Matériaux de l' Université d' Orléans . Je remercie vivement Messieurs les Professeurs Jean Andrzejewski et Serge Burnel , les deux directeurs qui se sont succédés à la tête de ce laboratoire durant mes trois années de thèse , pour leur accueil . Je voudrais exprimer ma gratitude à Monsieur le Professeur Jacques Hureau pour m' avoir proposée ce sujet de thèse et m' avoir guidée et conseillée tout au long de ce travail . Je voudrais aussi que Monsieur le Professeur Jean Coirier , de l' Université de Poitiers , ainsi que Monsieur Frédéric Dias , directeur de recherche du CNRS détaché à l' ENS Cachan , soient assurés de ma reconnaissance pour avoir accepté d' être rapporteurs et pour le temps qu' ils ont passé à corriger ce mémoire . Mes remerciements vont également à Messieurs les Professeurs Michel Mudry , Président de l' Université d' Orléans , et Jean-Marc Vanden-Broeck , de l' Université East Anglia de Norwich ( Angleterre ) , ainsi qu' à Monsieur Jean-Claude Lengrand , directeur du Laboratoire d' Aérothermique du CNRS-Orléans , pour l' honneur qu' ils m' ont fait de faire partie du jury et pour l' intérêt qu' ils ont porté à ce mémoire . Je tiens ici à exprimer tous mes remerciements à Monsieur Stéphane Loyer pour son aide plus que précieuse lors des essais en soufflerie , pour toutes les pièces qu' il a su bricoler pour que les manipulations soient réalisables , pour sa disponibilité et pour les pauses café ! Je ne peux pas non plus oublier M' dame Christine ( alias Miss Mounaïm ) notre « cheftaine » PIV pour son aide lors de la mise en place dans la soufflerie du système , M' dame Annie pour m' avoir supportée dans son bureau durant ces trois ans et M' sieur Eric pour tous ses conseils et les discussions dans ses nombreux bureaux ( ! ) . Qu' ils soient tous les quatre remerciés encore une fois . Un grand MERCI également à tous les membres du LME que je n' ai pas encore cité ( qu' ils soient « aéro » ou « motoristes » ) , et particulièrement à Madame Marie-Claude Chambon , notre maman à tous , pour sa gentillesse et pour les nombreuses fois où elle a su anticiper nos attentes . Je souhaite également bon courage à Olivier Lorillu qui reprend les travaux sur les voiles , ainsi qu' à Fabrice , Sébastien , Thomas ( désolée pour les nombreux bonds en ouvrant la porte ) et Thierry . Je pense également bien entendu à toutes les personnes que j' ai pu croiser lors des manifestations de l' ADSO et des randonnées CNRS , et en particulier aux membres « plus qu' actifs » avec qui j' ai eu l' occasion de travailler ou de passer de bons moments , comme dans des petites écoles , en canoë sur la Loire ou dans la neige à moyenne ou haute altitude ... Je ne nommerai qu' Anne-Lise , Eric ( eh oui , encore une fois ) , Jean-Philippe , José , Chantal , le Fanou , Pascal et Isabelle , mais j' en oublie très certainement ... Je ne voudrais pas finir sans remercier infiniment mes parents pour leur soutien durant ces longues années d' études , Chantal et Françoise ( même si , dans cette thèse , elles n' étaient intéressées que par la soutenance ! ) , ainsi qu' Anne-Sophie , Justine et Charlotte qui peuvent arriver à être sages comme des images pendant 45 minutes . Enfin , et pour finir , je remercie « un p'tit peu comme ça » Olivier pour sa patience et son soutien , surtout lors de la dernière ligne droite . SOMMAIRE REMERCIEMENTS 3 SOMMAIRE 5 NOMENCLATURE-NOTATIONS 9 INTRODUCTION GENERALE 11 I. A l' université d' Orléans 17 II . Docteur de l' université d' Orléans 17 I.1.2 . Disciplines  : Mécanique des Fluides , Energétique , Thermique et Combustion 17 I.1.3 . PAR 17 III . Dispositif expérimental et techniques de mesure 23 I.2 . Souffleries subsoniques 18 I.2.1 . Soufflerie Lucien Malavard 18 I.2.2 . Soufflerie de type Eiffel 19 I.3 . Anémométrie à fil chaud 20 I.3.1 . Principe de mesure 20 I.3.2 . Modélisation des transferts thermiques d' un cylindre de longueur infinie 21 I.3.3 . Les anémomètres 22 I.3.4 . Phénomènes parasites 23 I.3.5 . Dispositif expérimental 25 I.4 . Vélocimétrie par image de particules ( PIV ) 25 I.4.1 . Principe de la PIV 25 I.4.2 . Eléments du montage expérimental 26 I.4.3 . Traitement des images PIV 28 IV . Méthodes numériques d' étude et modélisation 32 I.5 . Les hypothèses de base de la théorie des jets et des sillages 35 I.6 . Différents modèles d' étude et leurs limitations 37 I.6.1 . Les travaux précurseurs d' Helmholtz , Kirchhoff , Joukowski et Levi-Civita 37 I.6.2 . Nouveaux développements 39 I.7 . Méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait 42 I.7.1 . Le modèle à parois virtuelles 42 I.7.2 . Présentation de notre méthode numérique 43 I.7.3 . Confrontation de résultats expérimentaux et numériques 46 I.7.4 . Conclusions sur le modèle à parois virtuelles 51 I.8 . Développements existants de la méthode et perspectives 52 V. Le problème mixte à 2p zones 55 I.9 . Rappels théoriques & 226;& 128;& 147; Le problème de Riemann-Hilbert 57 I.9.1 . Les problèmes de Hilbert et Riemann-Hilbert 57 I.9.2 . Résolution dans le cas du cercle unité 58 I.9.3 . Le problème mixte à 2p zones 59 I.9.4 . Le problème de Dirichlet 60 I.10 . Numérisation du problème mixte à 2p zones 60 I.10.1 . Ecriture de la condition d' existence 61 I.10.2 . Expression finale de ? 63 I.10.3 . Discrétisation sur le cercle en ? et ? 64 I.10.4 . Discussion sur les résultats obtenus 67 I.10.5 . Vérification de la condition d' existence 68 I.11 . Conclusion 69 VI . étude d' écoulements avec sillage épais 71 I.12 . Etude d' un obstacle avec sillage de Helmholtz placé dans une canalisation 73 I.12.1 . Introduction 74 I.12.2 . Résolution numérique 78 I.12.3 . Configurations symétriques  : résultats publiés dans la littérature 81 I.12.4 . Nouvelles configurations d' écoulement 88 I.12.5 . Conclusion 91 I.13 . Etude de voiles souples 92 I.13.1 . Rapide étude bibliographique sur les voiles 92 I.13.2 . Voiles décollées & 226;& 128;& 147; procédure numérique 95 I.13.3 . Résultats numériques et expérimentaux 99 I.13.4 . Perspectives & 226;& 128;& 147; conclusion 102 VII . Interaction de deux jets 103 I.14 . Méthodes de résolution 106 I.14.1 . Résolution par le théorème des quantités de mouvement 106 I.14.2 . Condition supplémentaire 108 I.14.3 . Construction d' une ligne en équilibre 109 I.15 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme direct 110 I.15.1 . Formulation mathématique du problème 111 I.15.2 . Procédure numérique 113 I.15.3 . Résultats 115 I.15.4 . Conclusion 119 I.16 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme inverse 120 I.16.1 . Formulation mathématique du problème 120 I.16.2 . Procédure numérique 122 I.16.3 . Existence et unicité 124 I.16.4 . Résultats 125 I.16.5 . Remarque sur les configurations symétriques 127 I.16.6 . Conclusion 128 I.17 . Interaction de deux jets 128 I.17.1 . Remarques sur le problème inverse 129 I.17.2 . Résolution numérique 129 I.17.3 . Cas de l' impact direct de jets décalés 131 I.17.4 . Résultats 132 I.17.5 . Remarques sur l' existence et l' unicité de la solution 138 I.17.6 . Conclusion 140 I. A l' université d' Orléans 17 II . Docteur de l' université d' Orléans 17 I.1.2 . Disciplines  : Mécanique des Fluides , Energétique , Thermique et Combustion 17 I.1.3 . PAR 17 III . Dispositif expérimental et techniques de mesure 23 I.2 . Souffleries subsoniques 18 I.2.1 . Soufflerie Lucien Malavard 18 I.2.2 . Soufflerie de type Eiffel 19 I.3 . Anémométrie à fil chaud 20 I.3.1 . Principe de mesure 20 I.3.2 . Modélisation des transferts thermiques d' un cylindre de longueur infinie 21 I.3.3 . Les anémomètres 22 I.3.4 . Phénomènes parasites 23 I.3.5 . Dispositif expérimental 25 I.4 . Vélocimétrie par image de particules ( PIV ) 25 I.4.1 . Principe de la PIV 25 I.4.2 . Eléments du montage expérimental 26 I.4.3 . Traitement des images PIV 28 IV . Méthodes numériques d' étude et modélisation 32 I.5 . Les hypothèses de base de la théorie des jets et des sillages 35 I.6 . Différents modèles d' étude et leurs limitations 37 I.6.1 . Les travaux précurseurs d' Helmholtz , Kirchhoff , Joukowski et Levi-Civita 37 I.6.2 . Nouveaux développements 39 I.7 . Méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait 42 I.7.1 . Le modèle à parois virtuelles 42 I.7.2 . Présentation de notre méthode numérique 43 I.7.3 . Confrontation de résultats expérimentaux et numériques 46 I.7.4 . Conclusions sur le modèle à parois virtuelles 51 I.8 . Développements existants de la méthode et perspectives 52 V. Le problème mixte à 2p zones 55 I.9 . Rappels théoriques & 226;& 128;& 147; Le problème de Riemann-Hilbert 57 I.9.1 . Les problèmes de Hilbert et Riemann-Hilbert 57 I.9.2 . Résolution dans le cas du cercle unité 58 I.9.3 . Le problème mixte à 2p zones 59 I.9.4 . Le problème de Dirichlet 60 I.10 . Numérisation du problème mixte à 2p zones 60 I.10.1 . Ecriture de la condition d' existence 61 I.10.2 . Expression finale de ? 63 I.10.3 . Discrétisation sur le cercle en ? et ? 64 I.10.4 . Discussion sur les résultats obtenus 67 I.10.5 . Vérification de la condition d' existence 68 I.11 . Conclusion 69 VI . étude d' écoulements avec sillage épais 71 I.12 . Etude d' un obstacle avec sillage de Helmholtz placé dans une canalisation 73 I.12.1 . Introduction 74 I.12.2 . Résolution numérique 78 I.12.3 . Configurations symétriques  : résultats publiés dans la littérature 81 I.12.4 . Nouvelles configurations d' écoulement 88 I.12.5 . Conclusion 91 I.13 . Etude de voiles souples 92 I.13.1 . Rapide étude bibliographique sur les voiles 92 I.13.2 . Voiles décollées & 226;& 128;& 147; procédure numérique 95 I.13.3 . Résultats numériques et expérimentaux 99 I.13.4 . Perspectives & 226;& 128;& 147; conclusion 102 VII . Interaction de deux jets 103 I.14 . Méthodes de résolution 106 I.14.1 . Résolution par le théorème des quantités de mouvement 106 I.14.2 . Condition supplémentaire 108 I.14.3 . Construction d' une ligne en équilibre 109 I.15 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme direct 110 I.15.1 . Formulation mathématique du problème 111 I.15.2 . Procédure numérique 113 I.15.3 . Résultats 115 I.15.4 . Conclusion 119 I.16 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme inverse 120 I.16.1 . Formulation mathématique du problème 120 I.16.2 . Procédure numérique 122 I.16.3 . Existence et unicité 124 I.16.4 . Résultats 125 I.16.5 . Remarque sur les configurations symétriques 127 I.16.6 . Conclusion 128 I.17 . Interaction de deux jets 128 I.17.1 . Remarques sur le problème inverse 129 I.17.2 . Résolution numérique 129 I.17.3 . Cas de l' impact direct de jets décalés 131 I.17.4 . Résultats 132 I.17.5 . Remarques sur l' existence et l' unicité de la solution 138 I.17.6 . Conclusion 140 I. A l' université d' Orléans 17 II . Docteur de l' université d' Orléans 17 I.1.2 . Disciplines  : Mécanique des Fluides , Energétique , Thermique et Combustion 17 I.1.3 . PAR 17 III . Dispositif expérimental et techniques de mesure 23 I.2 . Souffleries subsoniques 18 I.2.1 . Soufflerie Lucien Malavard 18 I.2.2 . Soufflerie de type Eiffel 19 I.3 . Anémométrie à fil chaud 20 I.3.1 . Principe de mesure 20 I.3.2 . Modélisation des transferts thermiques d' un cylindre de longueur infinie 21 I.3.3 . Les anémomètres 22 I.3.4 . Phénomènes parasites 23 I.3.5 . Dispositif expérimental 25 I.4 . Vélocimétrie par image de particules ( PIV ) 25 I.4.1 . Principe de la PIV 25 I.4.2 . Eléments du montage expérimental 26 I.4.3 . Traitement des images PIV 28 IV . Méthodes numériques d' étude et modélisation 32 I.5 . Les hypothèses de base de la théorie des jets et des sillages 35 I.6 . Différents modèles d' étude et leurs limitations 37 I.6.1 . Les travaux précurseurs d' Helmholtz , Kirchhoff , Joukowski et Levi-Civita 37 I.6.2 . Nouveaux développements 39 I.7 . Méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait 42 I.7.1 . Le modèle à parois virtuelles 42 I.7.2 . Présentation de notre méthode numérique 43 I.7.3 . Confrontation de résultats expérimentaux et numériques 46 I.7.4 . Conclusions sur le modèle à parois virtuelles 51 I.8 . Développements existants de la méthode et perspectives 52 V. Le problème mixte à 2p zones 55 I.9 . Rappels théoriques & 226;& 128;& 147; Le problème de Riemann-Hilbert 57 I.9.1 . Les problèmes de Hilbert et Riemann-Hilbert 57 I.9.2 . Résolution dans le cas du cercle unité 58 I.9.3 . Le problème mixte à 2p zones 59 I.9.4 . Le problème de Dirichlet 60 I.10 . Numérisation du problème mixte à 2p zones 60 I.10.1 . Ecriture de la condition d' existence 61 I.10.2 . Expression finale de ? 63 I.10.3 . Discrétisation sur le cercle en ? et ? 64 I.10.4 . Discussion sur les résultats obtenus 67 I.10.5 . Vérification de la condition d' existence 68 I.11 . Conclusion 69 VI . étude d' écoulements avec sillage épais 71 I.12 . Etude d' un obstacle avec sillage de Helmholtz placé dans une canalisation 73 I.12.1 . Introduction 74 I.12.2 . Résolution numérique 78 I.12.3 . Configurations symétriques  : résultats publiés dans la littérature 81 I.12.4 . Nouvelles configurations d' écoulement 88 I.12.5 . Conclusion 91 I.13 . Etude de voiles souples 92 I.13.1 . Rapide étude bibliographique sur les voiles 92 I.13.2 . Voiles décollées & 226;& 128;& 147; procédure numérique 95 I.13.3 . Résultats numériques et expérimentaux 99 I.13.4 . Perspectives & 226;& 128;& 147; conclusion 102 VII . Interaction de deux jets 103 I.14 . Méthodes de résolution 106 I.14.1 . Résolution par le théorème des quantités de mouvement 106 I.14.2 . Condition supplémentaire 108 I.14.3 . Construction d' une ligne en équilibre 109 I.15 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme direct 110 I.15.1 . Formulation mathématique du problème 111 I.15.2 . Procédure numérique 113 I.15.3 . Résultats 115 I.15.4 . Conclusion 119 I.16 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme inverse 120 I.16.1 . Formulation mathématique du problème 120 I.16.2 . Procédure numérique 122 I.16.3 . Existence et unicité 124 I.16.4 . Résultats 125 I.16.5 . Remarque sur les configurations symétriques 127 I.16.6 . Conclusion 128 I.17 . Interaction de deux jets 128 I.17.1 . Remarques sur le problème inverse 129 I.17.2 . Résolution numérique 129 I.17.3 . Cas de l' impact direct de jets décalés 131 I.17.4 . Résultats 132 I.17.5 . Remarques sur l' existence et l' unicité de la solution 138 I.17.6 . Conclusion 140 I. A l' université d' Orléans 17 II . Docteur de l' université d' Orléans 17 I.1.2 . Disciplines  : Mécanique des Fluides , Energétique , Thermique et Combustion 17 I.1.3 . PAR 17 III . Dispositif expérimental et techniques de mesure 23 I.2 . Souffleries subsoniques 18 I.2.1 . Soufflerie Lucien Malavard 18 I.2.2 . Soufflerie de type Eiffel 19 I.3 . Anémométrie à fil chaud 20 I.3.1 . Principe de mesure 20 I.3.2 . Modélisation des transferts thermiques d' un cylindre de longueur infinie 21 I.3.3 . Les anémomètres 22 I.3.4 . Phénomènes parasites 23 I.3.5 . Dispositif expérimental 25 I.4 . Vélocimétrie par image de particules ( PIV ) 25 I.4.1 . Principe de la PIV 25 I.4.2 . Eléments du montage expérimental 26 I.4.3 . Traitement des images PIV 28 IV . Méthodes numériques d' étude et modélisation 32 I.5 . Les hypothèses de base de la théorie des jets et des sillages 35 I.6 . Différents modèles d' étude et leurs limitations 37 I.6.1 . Les travaux précurseurs d' Helmholtz , Kirchhoff , Joukowski et Levi-Civita 37 I.6.2 . Nouveaux développements 39 I.7 . Méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait 42 I.7.1 . Le modèle à parois virtuelles 42 I.7.2 . Présentation de notre méthode numérique 43 I.7.3 . Confrontation de résultats expérimentaux et numériques 46 I.7.4 . Conclusions sur le modèle à parois virtuelles 51 I.8 . Développements existants de la méthode et perspectives 52 V. Le problème mixte à 2p zones 55 I.9 . Rappels théoriques & 226;& 128;& 147; Le problème de Riemann-Hilbert 57 I.9.1 . Les problèmes de Hilbert et Riemann-Hilbert 57 I.9.2 . Résolution dans le cas du cercle unité 58 I.9.3 . Le problème mixte à 2p zones 59 I.9.4 . Le problème de Dirichlet 60 I.10 . Numérisation du problème mixte à 2p zones 60 I.10.1 . Ecriture de la condition d' existence 61 I.10.2 . Expression finale de ? 63 I.10.3 . Discrétisation sur le cercle en ? et ? 64 I.10.4 . Discussion sur les résultats obtenus 67 I.10.5 . Vérification de la condition d' existence 68 I.11 . Conclusion 69 VI . étude d' écoulements avec sillage épais 71 I.12 . Etude d' un obstacle avec sillage de Helmholtz placé dans une canalisation 73 I.12.1 . Introduction 74 I.12.2 . Résolution numérique 78 I.12.3 . Configurations symétriques  : résultats publiés dans la littérature 81 I.12.4 . Nouvelles configurations d' écoulement 88 I.12.5 . Conclusion 91 I.13 . Etude de voiles souples 92 I.13.1 . Rapide étude bibliographique sur les voiles 92 I.13.2 . Voiles décollées & 226;& 128;& 147; procédure numérique 95 I.13.3 . Résultats numériques et expérimentaux 99 I.13.4 . Perspectives & 226;& 128;& 147; conclusion 102 VII . Interaction de deux jets 103 I.14 . Méthodes de résolution 106 I.14.1 . Résolution par le théorème des quantités de mouvement 106 I.14.2 . Condition supplémentaire 108 I.14.3 . Construction d' une ligne en équilibre 109 I.15 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme direct 110 I.15.1 . Formulation mathématique du problème 111 I.15.2 . Procédure numérique 113 I.15.3 . Résultats 115 I.15.4 . Conclusion 119 I.16 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme inverse 120 I.16.1 . Formulation mathématique du problème 120 I.16.2 . Procédure numérique 122 I.16.3 . Existence et unicité 124 I.16.4 . Résultats 125 I.16.5 . Remarque sur les configurations symétriques 127 I.16.6 . Conclusion 128 I.17 . Interaction de deux jets 128 I.17.1 . Remarques sur le problème inverse 129 I.17.2 . Résolution numérique 129 I.17.3 . Cas de l' impact direct de jets décalés 131 I.17.4 . Résultats 132 I.17.5 . Remarques sur l' existence et l' unicité de la solution 138 I.17.6 . Conclusion 140 I. A l' université d' Orléans 17 II . Docteur de l' université d' Orléans 17 I.1.2 . Disciplines  : Mécanique des Fluides , Energétique , Thermique et Combustion 17 I.1.3 . PAR 17 III . Dispositif expérimental et techniques de mesure 23 I.2 . Souffleries subsoniques 18 I.2.1 . Soufflerie Lucien Malavard 18 I.2.2 . Soufflerie de type Eiffel 19 I.3 . Anémométrie à fil chaud 20 I.3.1 . Principe de mesure 20 I.3.2 . Modélisation des transferts thermiques d' un cylindre de longueur infinie 21 I.3.3 . Les anémomètres 22 I.3.4 . Phénomènes parasites 23 I.3.5 . Dispositif expérimental 25 I.4 . Vélocimétrie par image de particules ( PIV ) 25 I.4.1 . Principe de la PIV 25 I.4.2 . Eléments du montage expérimental 26 I.4.3 . Traitement des images PIV 28 IV . Méthodes numériques d' étude et modélisation 32 I.5 . Les hypothèses de base de la théorie des jets et des sillages 35 I.6 . Différents modèles d' étude et leurs limitations 37 I.6.1 . Les travaux précurseurs d' Helmholtz , Kirchhoff , Joukowski et Levi-Civita 37 I.6.2 . Nouveaux développements 39 I.7 . Méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait 42 I.7.1 . Le modèle à parois virtuelles 42 I.7.2 . Présentation de notre méthode numérique 43 I.7.3 . Confrontation de résultats expérimentaux et numériques 46 I.7.4 . Conclusions sur le modèle à parois virtuelles 51 I.8 . Développements existants de la méthode et perspectives 52 V. Le problème mixte à 2p zones 55 I.9 . Rappels théoriques & 226;& 128;& 147; Le problème de Riemann-Hilbert 57 I.9.1 . Les problèmes de Hilbert et Riemann-Hilbert 57 I.9.2 . Résolution dans le cas du cercle unité 58 I.9.3 . Le problème mixte à 2p zones 59 I.9.4 . Le problème de Dirichlet 60 I.10 . Numérisation du problème mixte à 2p zones 60 I.10.1 . Ecriture de la condition d' existence 61 I.10.2 . Expression finale de ? 63 I.10.3 . Discrétisation sur le cercle en ? et ? 64 I.10.4 . Discussion sur les résultats obtenus 67 I.10.5 . Vérification de la condition d' existence 68 I.11 . Conclusion 69 VI . étude d' écoulements avec sillage épais 71 I.12 . Etude d' un obstacle avec sillage de Helmholtz placé dans une canalisation 73 I.12.1 . Introduction 74 I.12.2 . Résolution numérique 78 I.12.3 . Configurations symétriques  : résultats publiés dans la littérature 81 I.12.4 . Nouvelles configurations d' écoulement 88 I.12.5 . Conclusion 91 I.13 . Etude de voiles souples 92 I.13.1 . Rapide étude bibliographique sur les voiles 92 I.13.2 . Voiles décollées & 226;& 128;& 147; procédure numérique 95 I.13.3 . Résultats numériques et expérimentaux 99 I.13.4 . Perspectives & 226;& 128;& 147; conclusion 102 VII . Interaction de deux jets 103 I.14 . Méthodes de résolution 106 I.14.1 . Résolution par le théorème des quantités de mouvement 106 I.14.2 . Condition supplémentaire 108 I.14.3 . Construction d' une ligne en équilibre 109 I.15 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme direct 110 I.15.1 . Formulation mathématique du problème 111 I.15.2 . Procédure numérique 113 I.15.3 . Résultats 115 I.15.4 . Conclusion 119 I.16 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme inverse 120 I.16.1 . Formulation mathématique du problème 120 I.16.2 . Procédure numérique 122 I.16.3 . Existence et unicité 124 I.16.4 . Résultats 125 I.16.5 . Remarque sur les configurations symétriques 127 I.16.6 . Conclusion 128 I.17 . Interaction de deux jets 128 I.17.1 . Remarques sur le problème inverse 129 I.17.2 . Résolution numérique 129 I.17.3 . Cas de l' impact direct de jets décalés 131 I.17.4 . Résultats 132 I.17.5 . Remarques sur l' existence et l' unicité de la solution 138 I.17.6 . Conclusion 140 CONCLUSION GENERALE 139 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 143 ANNEXES 153 NOMENCLATURE - NOTATIONS c Célérité du son  ; corde Cp Coefficient de pression Cx Coefficient de traînée d Diamètre E Tension électrique f Potentiel complexe Gr Nombre de Grashof h Diffusion thermique du fluide ; largeur de jet k Coefficient de conductivité thermique L Longueur de voile ( longueur caractéristique ) M Nombre de Mach Nu Nombre de Nusselt P Pression Fp Force de pression Pr Nombre de Prandtl q Coefficient de cavitation Q Fonction de Joukowski r Coefficient de relaxation Re Nombre de Reynolds s Abscisse curviligne Réaction au point d' attache amont d' une voile souple Réaction au point d' attache aval d' une voile souple Ta Température du fluide Tf Température du fil chaud V Vitesse du fluide w Vitesse complexe W Fonction de Kirchhoff ( hodographe ) X Solution fondamentale du problème de Hilbert z Position dans le plan physique de l' écoulement Z Position d' un point dans un plan auxiliaire Lettres grecques ? Inclinaison du mât d' une voile souple ? Tangente à une paroi solide ; fonction faisant correspondre angle et position dans le plan de calcul ? Index du problème de Hilbert ? l Excès de longueur de voile ? t Pas de temps entre deux pulses laser ? Bijection entre la position d' un point dans ( z ) et ( ? ) ? Inclinaison de la corde d' une voile souple ; fonction Argument d' un point sur le cercle unité dans ( ? ) Potentiel des vitesses ? Courbure ? Nombre de Weber ? Viscosité cinématique du fluide ? Valeur de la fonction ? sur le cercle unité du plan ( ? ) ? Partie imaginaire de Q ou partie réelle de ? dans ( ? ) ? Masse volumique ? Argument d' un point dans le plan de calcul ? Valeur de la fonction ? sur le cercle unité du plan ( ? ) ? Partie réelle de Q ou partie imaginaire de ? dans ( ? ) ? Fonction de Levi-Civita ? Fonction de courant ? Position d' un point dans le plan de calcul Indices et notations : Plan dans lequel l' écoulement est considéré Fonction singularité Fonction continue Grandeur à l' infini Repère cartésien du plan physique Les équations sont notées ( I.3 ) pour la troisième équation du chapitre I . Les figures ( resp . tables ) sont repérées ( 4.2 ) , ce qui correspond à la deuxième figure ( resp . table ) du chapitre IV . Dans le texte , les références à des notations ne faisant intervenir que des lettres sont indiquées en italique pour ne pas être confondues avec des mots . Dans les équations , ces notations apparaissent en caractère normal . En aérodynamique comme en hydrodynamique , la notion de sillage décrit une zone de fluide perturbé située derrière tout obstacle placé dans un écoulement . Il existe deux types de sillages et les études sont à chaque fois différentes . Les sillages minces , tout d' abord , sont dus essentiellement à la présence dans l' écoulement de profils peu épais à faible incidence . Ils sont émis au bord de fuite de l' obstacle et consistent en une zone de glissement provenant des couches limites extrados et intrados . Parmi les principales théories traitant ce type de problèmes , nous pouvons citer la théorie de la ligne portante de Prandtl ou celle des nappes tourbillonnaires de Couchet-Mudry . Les sillages épais , quant à eux , proviennent d' obstacles sur lesquels décolle la couche limite . On parle donc d' écoulements décollés . Ils sont caractérisés par une large zone de fluide perturbé à l' arrière des obstacles et dus à la présence , entre autre , de profils à forte incidence , d' obstacles épais ou comportant des arêtes vives . Notons , à ce propos , que la notion de jet est comparable à celle de sillage puisque une zone de fluide en mouvement en entoure une où un ( autre ) fluide est au repos . Dans ce mémoire , nous allons nous intéresser aux sillages épais et aux jets qui ont fait l' objet de nombreuses études depuis la fin du siècle dernier et qui entrent dans le cadre général des écoulements bidimensionnels de fluide parfait . L' écoulement est , de plus , considéré comme étant irrotationnel et stationnaire et le fluide incompressible et non pesant . Le modèle des sillages de Helmholtz ( zone à pression constante et vitesse nulle ) est le modèle de base pour représenter les écoulements décollés en considérant ces hypothèses . Des relevés expérimentaux ayant montré que cette méthode sous-estimait nettement les efforts de traînée , de nouveaux modèles plus complexes ont donc été développés . De même , différentes méthodes de résolution des écoulements bidimensionnels de fluide parfait sont appliquées à de nombreuses configurations , tout aussi bien en aérodynamique qu' en hydrodynamique . Dans ce dernier cas , le fluide peut être considéré comme pesant . Il s' agit toujours de l' étude d' un problème aux limites ( constituées de parois rigides ou de lignes de courant , comme la frontière d' un sillage ou d' un jet ) qui est résolu par transformation conforme . Malheureusement , la géométrie des parois solides étant bien souvent très simple ( portions de droites ou arcs de cercle ) , les écoulements réels ne sont donc que peu représentés . Enfin , l' évolution des moyens informatiques a permis le développement de méthodes numériques de traitement des écoulements ( dont la méthode des singularités , difficile à mettre en oeuvre pour des écoulements décollés ) . Dans cet esprit , une méthode numérique pour l' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait a ainsi été mise au point au Laboratoire de Mécanique et d' Energétique d' Orléans afin de traiter des écoulements limités par des parois solides de géométrie quelconque et , éventuellement , de lignes de courant . Les sillages épais ont tout d' abord été modélisés grâce au modèle de Helmholtz puis par celui des parois virtuelles de Joukowski ( le sillage est limité par deux plaques planes imposant une pression de poche différente de la pression à l' infini amont ) . La validation de cette méthode se fait évidemment par comparaison de nos résultats numériques avec ceux pouvant être obtenus analytiquement ou par d' autres méthodes numériques . Ces derniers étant assez rares ( surtout dans le cas des parois virtuelles ) , et afin de savoir s' il était nécessaire de continuer à développer les applications de la méthode à d' autres écoulements , nous avons , de plus , confronté nos résultats avec des relevés expérimentaux . Il est ainsi apparu que suivant la nature du décollement , les résultats pouvaient être satisfaisants ( cas du décollement laminaire ) par rapport à la simplicité du modèle ( zone de fluide mort s' étendant à l' infini ) et aux hypothèses restrictives de la méthode . La présentation de l' outil expérimental utilisé pour la validation de nos calculs et disponible au sein du laboratoire , est faite dans le chapitre I de ce mémoire . Diverses expériences ont été réalisées dans deux types de souffleries subsoniques de taille très différente . Les informations expérimentales ont consisté , suivant les cas , en un relevé de pression sur l' obstacle et/ou une cartographie du champ de vitesse dans le plan de l' écoulement . Le relevé des vitesses a été réalisé , soit par fil chaud , soit par visualisation et traitement d' images par PIV ( Particle Image Velocimetry ) . Les principes de ces deux techniques sont également expliqués dans ce premier chapitre du mémoire . Nous avons ensuite présenté , dans le chapitre II , différentes méthodes utilisées dans la littérature pour résoudre des écoulements bidimensionnels de la théorie classique des jets de fluide parfait . Notre propre méthode de résolution est ensuite développée . Elle est basée sur la résolution d' un problème aux limites par transformation conforme du domaine du plan physique de l' écoulement dans un plan de calcul ( disque ou demi-disque unité ) . La validation expérimentale du modèle à parois virtuelles est proposée . Lors de l' étude numérique de ce cas particulier d' écoulement , un problème mixte aux limites à quatre zones , simplement symétrique , doit être résolu sur le cercle unité . Faute d' autres résultats numériques pour apprécier l' intérêt de notre méthode , et avant de passer à des configurations plus complexes nécessitant la résolution d' un problème mixte sans symétrie , la validation expérimentale a été nécessaire . Les résultats comparatifs ayant été encourageants , nous avons présenté dans le chapitre III , la numérisation du problème mixte à 2p zones sur le cercle en vue de son application à de nouveaux types d' écoulements . Dans la première partie du chapitre IV , un obstacle épais avec un sillage de type Helmholtz , est placé dans une canalisation de géométrie quelconque . Cette étude nécessite la résolution d' un problème mixte à quatre zones . Cette application a fait l' objet de quelques travaux publiés dans la littérature , mais toujours pour des configurations symétriques ( obstacles élémentaires et parois rectilignes ) . Une validation expérimentale sur différentes configurations symétriques et dissymétriques est présentée . La seconde application traitée dans ce chapitre ne fait pas apparaître de problème mixte , mais simplement un problème de Dirichlet . Il s' agit de l' étude de voiles souples en présence d' un mât . La voile est considérée comme étant non poreuse et inélastique . Elle se déforme sous l' action du vent pour atteindre une position d' équilibre qui est déterminée . Ce type d' écoulement ( avec sillage épais et présence du mât ) n' est pas traité dans la littérature , et il existe très peu de résultats expérimentaux avec sillage décollé . Des expériences en soufflerie ont donc a nouveau été rendues nécessaires afin de valider nos résultats . Les résultats sur les voiles souples sont très encourageants . Enfin , un dernier type d' écoulement très classique a été considéré dans le chapitre V : l' impact de deux jets de largeur et direction quelconques , problème jusqu'à présent non résolu . Pour le traiter , la ligne de séparation entre les deux jets ( on suppose qu' il n' y a pas de mélange ) est considérée comme étant une paroi rigide en équilibre . Nous avons tout d' abord considéré un problème direct ( impact d' un jet sur une paroi infinie de géométrie fixée ) , puis le problème inverse correspondant ( un jet rencontre une paroi infinie de géométrie inconnue , sur laquelle la répartition de pression est connue ) . La résolution du problème de l' impact des deux jets est réalisée par un couplage de ces deux approches afin de déterminer la géométrie de la ligne de séparation entre les deux jets . Ainsi une solution au problème de l' impact de deux jets quelconques a été trouvée . Enfin , un bilan de ce travail et les perspectives d' évolution qu' il présente , surtout dans le domaine des voiles souples , est présenté en conclusion de ce mémoire . I. Dispositif expérimental et techniques de mesure La complexité croissante des écoulements décollés étudiés ( considération de géométries courbes quelconques pour les parois solides , modélisation du sillage ... ) , et le manque de résultats analytiques correspondants ont nécessité une validation expérimentale des différents résultats numériques . Les différents résultats concernant les écoulements décollés que nous présenterons dans ce mémoire ( chapitres II et IV ) seront donc validés par le biais de différentes campagnes d' essais réalisées grâce aux moyens performants dont nous disposons au Laboratoire de Mécanique et d' Energétique ( souffleries subsoniques ) . Les écoulements étudiés ici sont bidimensionnels ( en accord avec les hypothèses de la méthode numérique ) . Le but des études expérimentales porte , entre autres , sur la détermination de la géométrie des lignes de sillage caractérisées par un saut de la valeur de la vitesse . Différentes techniques permettent de le réaliser . Deux d' entre elles sont disponibles au laboratoire : l' anémométrie à fil chaud et la vélocimétrie par image de particule ( Particule Imaging Velocimetry , PIV ) . Après un bref descriptif des deux souffleries utilisées , nous présenterons les principes de fonctionnement de ces deux techniques . I.2 . Souffleries subsoniques Nous avons été amenés à utiliser deux souffleries , de taille très différente , afin de valider les résultats numériques que nous avons établi au cours de ce travail . La première ( la soufflerie Lucien Malavard ) de 4 m& 194;& 178; de section a été utilisée pour l' étude d' écoulements infinis , alors qu' une soufflerie de type Eiffel de 90 cm& 194;& 178; de section a permis l' étude de l' influence des parois sur la forme du sillage . I.2.1 . Soufflerie Lucien Malavard La soufflerie Lucien Malavard de l' Ecole Supérieure de l' Energie et des Matériaux d' Orléans est une soufflerie subsonique à circuit fermé . Elle est composée de deux veines d' essais . La veine principale V1 a pour caractéristiques : section carrée de 2   x   2   m pour une longueur de 5   m , vitesse maximale mesurée  : 60   m / s , taux de turbulence moyen mesuré  : 0 , 4   % dans la partie utile de la veine d' essai , en écoulement stationnaire et en l' absence de maquette . La veine secondaire V2 est la veine du retour : section carrée de 5   x   5   m pour une longueur de 12   m , équipée d' un souffleur escamotable en entrée de veine permettant d' atteindre des vitesses d' écoulement de 10 à 35   m / s . L' écoulement est créé par un groupe moto-ventilateur de 265 kW. Le ventilateur comporte 16 pales et a un diamètre de 3 , 35 m . Le schéma d' ensemble de la soufflerie est présenté sur la figure 1.1 . La veine principale est équipée , entre autre , d' un système de déplacement motorisé tridimensionnel . Il est piloté par ordinateur et permet un balayage complet de la zone utile , et ce avec une très grande précision . Enfin , et afin de permettre l' étude d' écoulements bidimensionnels , la veine V1 peut être équipée de plaques de garde ( 2   x   4   m ) qui limitent les phénomènes tridimensionnels . La maquette est fixée sur deux disques ( de diamètre 1 m ) permettant sa mise en incidence . Le disque , du côté de la plate-forme de contrôle est transparent permettant l' acquisition d' images vidéo ( figure 1.2 ) . I.2.2 . Soufflerie de type Eiffel Nous avons donc également été amenés à réaliser une campagne d' essais dans une soufflerie de dimension plus réduite . Nous avons utilisé une soufflerie de type Eiffel qui est une soufflerie subsonique à circuit ouvert . Il s' agit à nouveau d' une veine carrée , mais cette fois  -ci de dimensions 0 , 3 x 0 , 3 m et de longueur 0 , 8 m ( figure 1.3 ) . La vitesse maximale atteinte est de 80 m / s . L' obstacle bidimensionnel est directement fixé sur les parois horizontales de la veine . A nouveau , une d' entre elles est transparente afin de permettre la visualisation directe de l' écoulement . I.3 . Anémométrie à fil chaud La première méthode expérimentale permettant de définir les caractéristiques de l' écoulement que nous présentons ici , est une méthode intrusive . Il s' agit de l' anémométrie à fil chaud . Cette technique est ancienne , puisque dès 1894 , Weber suggère d' utiliser les lois de transfert de chaleur entre un fil chauffé électriquement et l' écoulement dans lequel il est placé et dont la vitesse est à déterminer . King définit en 1914 , après des études expérimentales , le fil chaud en tant qu' instrument de mesure de la vitesse d' un écoulement . I.3.1 . Principe de mesure Un fil chauffé est placé dans un écoulement . A l' équilibre , la puissance électrique P nécessaire à chauffer le fil à la température , supérieure à celle du fluide , est égale à la quantité de chaleur Q dissipée dans l' écoulement . Celle  -ci est alors fonction de la vitesse du fluide , de l' écart de température entre le fil et le fluide , des propriétés physico-chimiques du fil , de ses dimensions , de son orientation ainsi que des propriétés physiques du fluide . La dimension des fils chauds est de l' ordre du millimètre , pour un diamètre de quelques micromètres . Il est fixé sur deux broches ( figure 1.5 ) . Notons qu' il existe également des films chauds pour des applications particulières . I.3.2 . Modélisation des transferts thermiques d' un cylindre de longueur infinie Le fil est refroidi par convection forcée ( le rayonnement étant faible aux températures considérées , environ 300 ° et la conduction limitée par la conception des sondes ) . Sa température , et donc sa résistance , dépendent de la vitesse et de la température du fluide incident . La loi d' échange thermique du fil est caractérisée par un nombre sans dimension : le nombre de Nusselt ( Nu ) qui dépend de plusieurs nombres sans dimension ( I.1 ) où Re est le nombre de Reynolds . Il caractérise l' écoulement autour du fil . Dans le cas du fil chaud , avec U la composante de la vitesse normale au fil , d une longueur caractéristique ( le diamètre ) et ? la viscosité cinématique du fluide ( pour l' air ) . M est le nombre de Mach , et exprime les effets de compressibilité . avec c la célérité du son . est le rapport des températures du fil et du fluide . Pr est le nombre de Prandtl . Il définit la nature de l' écoulement , avec h la diffusivité thermique du fluide . Gr est le nombre de Grashof , et traduit les effets de la convection libre . Il n' intervient qu' aux basses vitesses . Le nombre de Nusselt peut également s' exprimer alors sous la forme avec k le coefficient de conductivité thermique du fluide . Les lois mathématiques du transfert de chaleur par conduction forcée ne sont pas immédiates . Différentes corrélations expérimentales ont permis d' établir des relations définissant le nombre de Nusselt . Parmi elles , notons la relation de King , valable pour les écoulements avec : . ( I.2 ) la relation de Kramers , fondée pour un nombre de Reynolds variant de 0 , 01 à 10   000 et pour un nombre de Prandlt compris entre 0 , 71 et 525   : . ( I.3 ) Pour l' air , la relation devient . ( I.4 ) la relation de Collis et Williams avec ( I.5 ) et dans le cas de l' air avec , et si , et , et si . Parmi toutes ces relations , c' est celle de Kramers qui est la plus souvent utilisée parce qu' elle est valable pour des gammes de nombre de Prandlt et de Reynolds importantes . I.3.3 . Les anémomètres Nous avons précisé que la définition de la vitesse dans l' écoulement est liée au transfert de chaleur entre le fil chaud et le fluide . Dans le cas d' un fil de longueur l infiniment grande par rapport au diamètre d de celui  -ci , l' équation de la chaleur s' écrit : ( I.6 ) avec la masse volumique du fluide , la chaleur massique du fil , dx la longueur élémentaire , sa résistance de fonctionnement et I l' intensité qui le traverse . Le premier terme de l' équation ( I.6 ) représente la capacité thermique du fil et le second le flux convectif . La somme de ces termes équivaut à la puissance dissipée par effet Joule . Deux types d' anémomètres existent , les uns fonctionnant à température constante ( ATC ) et les autres à intensité constante ( AIC ) , figure 1.6 . Ces derniers sont surtout utilisés pour étudier les fluctuations de température et celles de vitesse pour les écoulements subsoniques chauffés et supersoniques . Par opposition les ATC sont utilisés pour étudier les fluctuations de vitesse en écoulement isotherme . C' est donc un anémomètre de ce type que nous utiliserons ici . Dans ce cas particulier , l' équation ( I.6 ) est réduite à l' expression ( I.7 ) avec S la surface totale du fil . Pour les anémomètres ATC , la résistance électrique varie linéairement en fonction de la température du fil chaud . Ceci s' exprime ( I.8 ) où ? est le coefficient de résistivité ( valeur dépendant du matériau du fil ) et la résistance du fil pour une vitesse nulle de l' écoulement ( quand ) . En combinant les équations ( I.7 ) et ( I.8 ) avec l' expression de Kramers ( I.3 ) , nous pouvons écrire . Avec l' expression du nombre de Reynolds , elle peut s' écrire sous la forme : , c' est-à-dire , avec les notations de la figure 1.5 . ( I.9 ) Finalement , la relation de King exprime la relation entre la tension d' alimentation E du pont de Wheatstone et la vitesse U du fluide . ( I.10 ) Il est donc nécessaire de définir les constantes B et n de King par un étalonnage de la sonde . Ceci se fait de manière classique par une comparaison avec une autre technique de mesure de la vitesse de l' écoulement . I.3.4 . Phénomènes parasites Il existe deux principaux phénomènes parasites intervenant lors de l' utilisation d' un fil chaud . Il s' agit du refroidissement du fil par les supports et l' influence de l' incidence de la sonde . Pour tenir compte des premiers , les relations ( I.7 ) et ( I.9 ) permettent d' exprimer l' équilibre thermique d' un élément dx du fil en régime permanent . En considérant les conditions aux limites , on peut écrire la relation déterminant l' évolution de la température le long du fil chaud sous la forme : où est la température pour et . La figure 1.8 représente la distribution de température le long du fil chaud pour différentes valeurs de ce dernier coefficient . Dans la relation de King , la vitesse intervenant est la vitesse de refroidissement de la sonde ( figure 1.9 ) . Jørgensen établit une équation déterminant la vitesse effective en tenant compte de l' influence des supports , avec où est appelé le coefficient de yaw et celui de pitch . La détermination de ces coefficients ( propres à chaque sonde ) est faite par l' étalonnage , pour différentes positions de la sonde dans un vent de vitesse fixée ( valeurs des angles ? et ? ) . Le placement du fil chaud à une composante est réalisé afin que l' angle ? , définit précédemment , soit nul . L' écoulement se fait alors dans le plan de la figure 1.9 . De plus , dans le cas particulier des expériences bidimensionnelles que nous ferons dans ce mémoire , l' écoulement a lieu dans le plan . Par conséquent , nous supposerons que la seule composante mesurée de la vitesse de l' écoulement est la composante normale au plan de la sonde . I.3.5 . Dispositif expérimental Le dispositif expérimental dont nous disposons ( figure 1.10 ) est composé d' un boîtier STREAMLINE de DANTEC , de sondes de mesure ( une ou deux composantes ) , d' une sonde de température , de câbles de liaison reliant les sondes au boîtier et d' un logiciel de traitement . Ce système mesure la vitesse et le taux de turbulence d' un écoulement . I.4 . Vélocimétrie par image de particules ( PIV ) Dès le début du XXième siècle , Prandtl visualisa des écoulements bidimensionnels autour de cylindres , de prismes ou de profils d' aile placés dans un tunnel hydrodynamique . L' écoulement était ensemencé de particules de mica flottant à la surface ( l' obstacle est placé verticalement ) entraînées par l' écoulement sans le modifier . Prandtl put ainsi étudier la structure du sillage pour des écoulements , stationnaires ou non , mais seule une description qualitative des phénomènes a pu être possible . Le passage des résultats qualitatifs comme ceux de Prandtl à des résultats quantitatifs a nécessité l' évolution de beaucoup de techniques , comme l' optique , l' informatique , l' électronique et la vidéo . Ce ne sont que depuis quelques dizaines d' années que les techniques permettant d' atteindre les grandeurs physiques de l' écoulement sont apparues . Parmi elles , nous pouvons citer la technique que nous avons utilisé et que nous allons présenter ici : la «  vélocimétrie par imagerie de particules  » ou PIV ( Particle Image Velocimetry ) . I.4.1 . Principe de la PIV La technique de PIV repose sur le phénomène de la diffusion de Mie : les particules , ensemençant l' écoulement , vont diffuser la lumière issue d' une nappe laser . Une caméra vidéo ou un appareil photo , enregistre l' image des particules diffusantes ( figure 1.11 ) . L' opération est répétée un instant ? t très court plus tard . La comparaison des deux images , sur lesquelles les particules ensemencées se sont déplacées , permet de définir la vitesse en chaque point par traitement statistique sur une zone d' interrogation . La PIV est donc une technique de mesure non intrusive , puisque aucun instrument n' est placé dans l' écoulement ( contrairement au fil chaud ) . Elle peut très bien être employée pour des écoulements fortement supersoniques , ou présentant des ondes de choc . Il s' agit d' une mesure indirecte de la vitesse dans l' écoulement . En effet , ce n' est pas directement la vitesse de l' écoulement qui est mesurée , mais la vitesse d' une particule d' ensemencement . Si celui  -ci est composé de particules suffisamment fines et légères , les deux vitesses sont égales . La PIV permet d' obtenir des informations globales sur une surface assez grande et donc une cartographie de l' écoulement . Dans ce sens , cette technique se différencie également de celles du fil chaud ou de la LDA ( Laser Doppler Anemometry ) qui fournissent des informations ponctuelles . La visualisation de l' écoulement se fait dans un plan et le support vidéo ou photographique est placé perpendiculairement à la nappe laser . Les informations sont donc les composantes de la vitesse dans le plan laser . Récemment la PIV a évolué , et des systèmes de PIV tridimensionnelle utilisant deux caméras visualisant la nappe laser avec des angles différents , sont disponibles . Dans ce cas , une information 3D sur la vitesse est possible . Détaillons à présent les différents éléments du montage PIV . I.4.2 . Eléments du montage expérimental Particules et ensemencement Les particules d' ensemencement ne doivent pas être trop grosses pour être entraînées par l' écoulement sans le perturber , mais elles doivent tout de même pouvoir émettre une quantité suffisante de lumière pour être vues par le support vidéo ou photographique . L' ensemencement de l' écoulement est un paramètre sensible de la PIV . En effet , il faut qu' il soit le plus homogène possible dans la zone de visualisation et sa densité ne doit être ni trop faible ( comme pour la technique PTV , « Particle Tracking Velocimetry » ) , ni trop élevée ( comme en LSV , « Laser Speckle Velocimetry » ) . Dans le premier cas , lorsque la densité est trop faible , il n' est pas possible d' effectuer un traitement statistique sur de petites zones d' interrogation parce que le nombre de particules présentes est trop faible ( voire nul ) . Dans le second cas , la distinction des particules les unes des autres est impossible . Il faut donc une densité de particules moyenne ( figure 1.12 ) . Suivant les applications , l' ensemencement est constitué de particules solides , liquides , gazeuses ou de fumée . Pour les écoulements de fluide liquide , la taille des particules varie de la dizaine de micromètres au millimètre . Pour les écoulements gazeux , elle est plutôt de l' ordre de grandeur de quelques micromètres . Dans nos applications , nous avons utilisé un générateur de fumée de type spectacle . L' ensemencement est donc réalisé par vaporisation d' huile sur une résistance chauffante , mais nous n' avons pas d' information sur la taille des particules ( nous pensons qu' elle est de l' ordre du micromètre ) . Le dispositif d' ensemencement est placé , à chaque fois , à l' amont du nid d' abeille à l' entrée du convergent . Nappe laser Le principe même de la PIV consiste à illuminer , avec une intensité suffisante pour que les particules émettent de la lumière , une zone importante de l' écoulement et ce à deux reprises séparées d' un intervalle de temps très court . Le laser Nd : YAG pulsé à double oscillateurs ( figure 1.13 ) est un type de laser très fréquemment utilisé en PIV parce qu' il répond bien à tous ces critères . Dans le cas de zones de visualisation importantes ( comme c' est très souvent le cas en soufflerie ) , le laser Nd : YAG est préféré à des lasers à vapeur de cuivre parce que l' énergie fournie en sortie est plus importante . Par contre , la cadence de répétition de prises d' images est beaucoup plus rapide avec le second type de laser , ce qui lui permet d' être utilisé pour de faibles zones de visualisation et des écoulements instationnaires . Pour la réalisation des expériences dont nous allons présenter les résultats dans ce mémoire , le système d' émission se compose d' un laser Nd : YAG ( Spectra Physics 400 ) réglé sur la deuxième harmonique émettant deux pulses de 200 mJ chacun ( ) . La fréquence de pulsation est de 10 Hz . Le plan laser est obtenu de manière classique par un ensemble d' optiques composé de lentilles divergentes , sphériques et semi-cylindriques . Des miroirs peuvent également être utilisés , pour guider le faisceau . Pour des raisons d' encombrement , nous avons utilisé un bras optique articulé à la place des miroirs . Le système de lentilles doit pouvoir faire passer le faisceau cylindrique du laser à une nappe , divergente ou non , de faible épaisseur ( de l' ordre du millimètre ) et de dimensions suffisantes pour recouvrir la zone de visualisation . Nous avons ainsi obtenu une nappe laser de divergence 60 ° et d' environ 1 mm d' épaisseur au niveau de l' obstacle . Support d' enregistrement Il existe à priori deux types de support d' enregistrement : les supports vidéo ( CCD ) et les photographiques . La principale différence entre ces deux techniques est la résolution en pixels de la zone visualisée . Typiquement , les caméras vidéo standards contiennent des matrices CCD de 512 x 512 ou 1024 x 1024 pixels , les caméras haute résolution proposent , quant à elles , des matrices de 2048 x 2048 pixels . Ceci entraîne un nombre pixels , pour l' ensemble de la zone , d' environ 0 , 25 ou 1 million de pixels pour les caméras classiques et de 4 millions pour celles à haute définition . Les pellicules photographiques possèdent des résolutions beaucoup plus importantes ( environ 10 fois plus grandes ) par rapport aux actuelles caméras haute définition . Mais le principal inconvénient de ce type de support est la nécessité de développement de la pellicule . Les progrès de la vidéo laissent penser que , bientôt , les caméras proposeront une résolution équivalente à celle des actuelles pellicules photographiques . Les caméras CCD , par contre , permettent un traitement en temps réel de l' écoulement . Le problème réside ensuite dans le stockage des images numériques fournies par la caméra ( la taille d' une image provenant d' une caméra de résolution 1028   x   1028   pixels est d' environ 1   Mbyte ) . Nous avons utilisé une caméra CCD PIVCAM de résolution 1008   x   1016   pixels . La synchronisation des pulses laser et de la prise d' images , ainsi que l' acquisition de celles  -ci , sont réalisées via le module de synchronisation TSI piloté par le logiciel InSight-NTTM . I.4.3 . Traitement des images PIV Principe de traitement par intercorrélation Une fois les prises de vue réalisées , nous disposons de couples d' images numérisées par niveau de gris ( les « zones » claires correspondant aux particules ) . Pour déterminer le champ de vitesse , il faut déterminer la position d' une même particule sur chacune des deux images . Ceci se fait automatiquement en considérant la fonction de niveaux de gris sur des zones et en déterminant la fonction d' intercorrélation locale correspondante pour un couple d' images . Pour cela , nous travaillons par petites zones d' interrogation sur lesquelles un vecteur vitesse est défini . Ces zones peuvent de plus se superposer pour obtenir un champ de vitesse le plus continu possible . De manière classique , avec notre caméra de résolution 1008   x   1016   pixels , nous prenons des zones d' interrogation de 32   x   32   pixels et un taux de recouvrement de 50   % . Ceci permet de définir 61 x 62 vecteurs sur l' ensemble de la zone de visualisation . La fonction d' intercorrélation , sur la zone d' interrogation , est constituée de différents pics . Dans le cas optimal , il y a un pic central ( pic d' intercorrélation d' ordre 0 ) et deux pics ( d' ordre 1 ) symétriques par rapport à ce pic central ( figure 1.14 ) . La position relative de ces pics est fonction de la moyenne des déplacements des particules sur la zone d' interrogation . La valeur de la vitesse locale , correspondant à la zone , s' obtient en fonction du pas de temps ? t entre les deux pulses laser et du grandissement entre les dimensions de la zone visualisée physique et celle de la caméra ( d' où la nécessité de réaliser un calibrage en vitesse avant tout traitement ) . Sur la figure 1.14 , la fonction d' intercorrélation non optimale est également représentée . Elle est caractérisée par un pic central , mais il n' y a plus les pics secondaires comme dans le cas précédent . Elle présente un fond bruité , des pics parasites et/ou des pics secondaires peu élevés . Ceci peut être dû à un manque de particules dans la zone , un manque de contraste , les particules n' émettant alors que trop peu de lumière , ou un déplacement de ces particules hors de la zone ( elles sortent de la zone soit transversalement soit parce qu' elles se déplacent trop vite par rapport aux dimensions de la zone d' interrogation ) . Ceci se traduit par l' obtention de « faux vecteurs » . Détermination du pas de temps Nous avons vu l' importance de la détermination du pas de temps ? t entre deux images consécutives puisqu' il permet de déterminer la valeur de la vitesse locale . La valeur de ? t est déterminée en fonction de la vitesse moyenne prévisible dans la zone de visualisation . De manière optimale , on considère que les particules se déplacent sur quatre pixels . La calibration en vitesse déterminée lors de la mise au point de la caméra , permet de définir la correspondance entre un mètre et un pixel . D' après la valeur prévisionnelle de la vitesse moyenne dans l' écoulement , il est donc possible de déterminer le temps ? t qu' une particule mettrait à parcourir quatre pixels . Si ? t est trop petit , la corrélation entre les deux images ne sera pas bonne . S' il est trop élevé , les particules auront déjà quitté la zone d' interrogation entre les deux pulses laser . Elimination des « faux vecteurs » Nous avons donc obtenu par traitement statistique un champ instantané de vitesse . Mais comme nous l' avons vu , il peut exister des « faux vecteurs » dus à une mauvaise corrélation entre des zones d' interrogation de deux images consécutives . Il faut donc pouvoir les éliminer et c' est ce qui est réalisé lors du post-traitement , étape importante de toute manipulation de PIV . Différentes fonctions existent dans le post-traitement des image de PIV . Nous ne les exposerons pas toutes en détails ici . Dans le cas de nos manipulations , nous avons à chaque fois traité un champ stationnaire . La réalisation d' un champ moyen sur cinquante à cent couples d' images permet déjà d' obtenir un champ moyen relativement continu ( figure 1.15 ) . Mais la valeur des « faux vecteurs » est souvent tellement aberrante qu' il ne faut pas en tenir compte . Nous appliquons donc un filtre passe-bande sur les différentes composantes de la vitesse . Les « faux vecteurs » sont donc éliminés et le champ moyen est nettement amélioré ( figure 1.16 ) . Suivant les cas , il est possible de lisser le champ par une fonction de Lagrange qui tient compte avec des poids plus ou moins importants des vecteurs entourant la zone d' interrogation . Ce lissage peut être réalisé sur les valeurs instantanées ou sur le champ moyen . Dans tous les résultats que nous présenterons par la suite , il n' a pas été nécessaire de lisser le champ de vecteur . II . Méthodes numériques d' étude et modélisation Cette étude a été menée dans le cadre de la théorie générale des écoulements bidimensionnels de fluide parfait . De manière classique , d' autres hypothèses peuvent être formulées afin de simplifier l' étude , mais il faut savoir que certaines peuvent être supprimées : les écoulements sont considérés comme étant stationnaires et irrotationnels et le fluide comme étant incompressible et non pesant . La résolution de tels écoulements a été rendue possible par l' apparition , au XIXe siècle , de la théorie mathématique des variables complexes ( théorie du potentiel complexe ) et , en particulier , l' utilisation de transformations conformes . L' écoulement physique peut alors être caractérisé par des grandeurs complexes : position dans le plan physique d' une particule de fluide ( de coordonnées ( x  ;   y ) dans un repère cartésien ) , potentiel complexe où ? représente le potentiel des vitesses ( avec la vitesse cartésienne ) et ? la fonction de courant , et vitesse complexe ( u et v sont les composantes de la vitesse dans un repère cartésien ) . L' écoulement est entièrement défini lorsque l' une des deux fonctions f ou w est connue sur l' ensemble du domaine . En effet , la vitesse cartésienne est ainsi connue en chaque point de l' écoulement ; il est alors possible , par exemple , de déterminer la géométrie des lignes de courant ( en particulier les lignes de jet ou toute autre frontière de forme inconnue ) ou la répartition de pression sur une paroi solide . Revenons aux différents types d' écoulements entrant dans le cadre de la théorie générale des écoulements bidimensionnels de fluide parfait . Les frontières de la zone fluide dans le plan physique ( noté ( z ) dans la suite de ce mémoire ) peuvent être de deux types : parois solides ( obstacles , canalisations ... ) pouvant le cas échéant être déformables , lignes de courant ( jets , surfaces libres ... ) . L' étude est restreinte à la zone dans laquelle le fluide est en mouvement . Par exemple , les zones de fluide mort pouvant se créer à l' arrière des obstacles ne sont pas prises en compte . Les écoulements « classiques » sont représentés figure 2.1 ( le fond grisé représente ceux qui seront étudiés ou utilisés dans ce mémoire ) . Mais , si certains de ces écoulements ont été traités très tôt après l' apparition de la théorie du potentiel complexe , les parois solides étaient toujours de géométrie très simple ( droites ou arcs de cercle ) . Depuis une quarantaine d' années , de nouvelles méthodes de résolution sont apparues pour traiter des géométries plus complexes . Elles peuvent également ne pas tenir compte de certaines des hypothèses restrictives ( comme la pesanteur ) . Ce que nous proposons ici est une méthode générale s' appliquant quelle que soit la géométrie des frontières solides , pour un grand nombre de configurations et pouvant également s' affranchir d' hypothèses comme la pesanteur . Cette méthode a déjà été appliquée à certains cas et nous étudierons dans ce mémoire de nouvelles applications . I.5 . Les hypothèses de base de la théorie des jets et des sillages Comme nous l' avons précisé , la théorie des jets prend en compte les écoulements bordés par des parois solides et/ou des surfaces libres . Revenons à présent sur les principales hypothèses de la théorie et leur validité . Dès le début du XXème siècle , Chaplygin introduisit les principes de base de la théorie des jets pour les fluides compressibles . Néanmoins , l' hypothèse d' incompressibilité du fluide est très régulièrement émise dans le cadre de l' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait . En effet , l' évolution de l' étude des fluides compressibles a permis de mettre au point d' autres méthodes efficaces pour la résolution de ces problèmes . Il faut cependant noter que la compressibilité du fluide peut tout de même être prise en compte . Il existe des résultats bibliographiques à ce propos dans les ouvrages classiques de Birkhoff et Zarantonello ( 1957 ) , Jacob ( 1959 ) ou Gurevich ( 1966 ) qui reprennent la théorie de Chaplygin en traitant le problème par l' analyse complexe . Mais , les géométries étudiées sont très simples ( arcs de cercle et segments de droites ) et représentent peu la réalité . Pour les écoulements stationnaires et adiabatiques , l' hypothèse d' incompressibilité impose certaines restrictions sur la vitesse : elle doit être inférieure à la vitesse du son . Cette restriction est essentiellement valable pour les gaz , alors que pour les liquides elle est sans grande importance . L' écoulement autour d' obstacles dépend de nombreux paramètres comme la géométrie de ces obstacles ou le nombre de Reynolds . Pour un fluide non visqueux , la couche limite au niveau de l' obstacle peut être , en fonction de ce dernier paramètre , soit laminaire , soit turbulente . L' hypothèse de fluide parfait est utilisée dans la théorie des jets , mais elle n' est valide que dans le cas où la vitesse de l' écoulement et la géométrie des obstacles sont telles que les couches limites ne modifient pas la définition des frontières . De tels cas existent dans la pratique . Les forces de frottement sont calculées séparément , en accord avec la théorie de la couche limite , à partir d' une solution obtenue en considérant le fluide comme parfait . L' hypothèse de non vorticité est étroitement liée à l' hypothèse de fluide parfait . En l' absence de vorticité , la solution mathématique du problème est très simplifiée . En effet , pour tout écoulement irrotationnel de fluide incompressible , le potentiel des vitesses ? existe et vérifie l' équation de Laplace . D' après les relations de Cauchy , la fonction de courant ? doit également vérifier l' équation de Laplace . Comme précisé lors de l' introduction , si le potentiel des vitesses et la fonction courant sont connus , il est possible de définir le potentiel complexe et ainsi le champ de vitesse ( ou de pression ) et , le cas échéant , différentes grandeurs telles que les forces résultantes et les moments s' appliquant sur un obstacle . Dans la théorie des jets la résolution du problème se fait en considérant les conditions aux limites . Le potentiel des vitesses doit donc , en plus de l' équation de Laplace , vérifier ces conditions qui peuvent être fortement simplifiées sur les surfaces libres lorsque la gravité du fluide est ignorée . Considérons un écoulement stationnaire : la vitesse est tangente aux parois solides de géométrie connue ou non , ou surfaces de courant de géométrie toujours inconnue , sur les surfaces libres , la pression est constante . Sur une surface libre , et en tenant compte de cette dernière propriété , l' équation de Bernoulli s' écrit avec ? la masse volumique du fluide , g l' accélération de la pesanteur et y la position verticale d' un point sur la ligne . Lorsque la valeur de la vitesse est assez grande par rapport à la variation de hauteur sur la ligne de courant ( ce qui revient également à faire l' hypothèse de fluide non pesant ) , l' équation de Bernoulli devient . Dans le cas d' écoulements infinis , il faut se limiter à une zone assez proche de l' obstacle . La vitesse du fluide ne doit donc être ni trop faible pour satisfaire à l' hypothèse de fluide non pesant , ni trop élevée pour pouvoir considérer le fluide comme étant incompressible . Cette double limitation est néanmoins réalisée par un large éventail d' écoulements . Résumons les différentes hypothèses réalisées dans cette étude de résolution de problème aux limites : l' écoulement bidimensionnel est stationnaire et irrotationnel  ; le fluide parfait est incompressible et non pesant . I.6 . Différents modèles d' étude et leurs limitations I.6.1 . Les travaux précurseurs d' Helmholtz , Kirchhoff , Joukowski et Levi-Civita Les premières études sur ces écoulements ont été réalisées par Kirchhoff qui généralisa une méthode développée dès 1868 par Helmholtz . Dans ces études , seules des parois solides rigoureusement rectilignes ( cas de la plaque plane ) sont étudiées . La vitesse sur les lignes de jet correspond à la vitesse à l' infini V ? . La zone de fluide mort à l' aval de la plaque est supposée s' étendre à l' infini . Pour résoudre le problème , et au lieu de chercher directement l' expression du potentiel des vitesses f , Kirchhoff considéra la variable . Supposons la fonction comme étant connue , il est possible de définir la fonction z ( f ) par une simple intégration : . Définir la fonction revient à déterminer la transformation conforme du domaine de l' écoulement représenté dans le plan ( f ) sur celui dans le plan ( W ) . Celle  -ci peut se réaliser par transformations conformes successives sur des plans auxiliaires . Dans des cas particuliers d' écoulement comme ceux étudiés par Helmholtz et Kirchhoff , la transformation conforme de ( f ) sur ( W ) est réalisée facilement . Avec cette méthode , les auteurs purent ainsi , par exemple , résoudre analytiquement le problème de la plaque plane placée perpendiculairement dans un écoulement . A la suite des travaux de Helmholtz et Kirchhoff , Joukowski considéra en 1890 des géométries d' obstacle un peu plus générales . Les parois solides étaient alors constituées d' un nombre fini de segments . A la place d' utiliser la fonction introduite précédemment , il considéra la fonction , ( I.11 ) où est fonction de la norme de la vitesse physique et représente l' angle que fait cette vitesse avec l' axe réel des coordonnées . Joukowski employa alors la même méthode que celle de ces prédécesseurs , mais au lieu d' exprimer directement la relation entre Q et f , il relia chacun des paramètres en fonction d' une variable auxiliaire notée Z ; la résolution du problème se faisant alors dans ce plan auxiliaire ( Z ) . Le domaine de l' écoulement dans le plan auxiliaire correspond au demi-plan infini supérieur . Les expressions des fonctions Q et f en fonction de Z sont connues par transformations conformes . Comme il est souvent difficile d' éliminer directement la variable Z dans ces équations , cette grandeur sert de paramètre pour définir la position d' un point dans le domaine physique . Nous avons alors la relation classique , ( I.12 ) qui s' écrit ici . Etudions à présent l' intérêt d' introduire cette fonction Q. Dans le plan du potentiel , le domaine de l' écoulement est limité uniquement par des portions de droites . Il en est de même dans le plan ( Q ) . En effet , comme nous l' avons vu précédemment , la vitesse est tangente aux parois solides ( la fonction ? est donc constante pour des droites ) et la fonction T est constante , quant à elle , sur les lignes de courant . Par conséquent , les transformations conformes des domaines de variation de l' écoulement représenté dans les plans ( f ) et ( Q ) sur le demi-plan supérieur , domaine de variation dans le plan ( Z ) , se font par la formule classique de Schwarz-Christoffel ( figure 2.2 ) . Joukowski retrouva alors les solutions établies précédemment par Kirchhoff et résolut de nouvelles configurations plus complexes . Un peu plus tard , en 1907 , Levi-Civita reprit la méthode introduite par Joukowski mais utilisa quant à lui la variable intermédiaire ? : . ( I.13 ) La définition de la fonction ? est la même pour Joukowski et Levi-Civita ( ( II.1 ) et ( II.3 ) ) . Par contre la fonction T est , bien que liée à la norme de la vitesse , dans les deux cas définie au signe près suivant la fonction de référence Q ou ? ( ) . En effet , la norme de la vitesse vaut si l' on considère la fonction Q et si la fonction utilisée est ? . Levi-Civita transforma conformément le domaine de l' écoulement dans les plans ( f ) et ( ? ) non plus sur le demi-plan supérieur , mais sur le demi-disque unité supérieur . La transformation conforme se fait de manière à ce que ? tende continûment vers des valeurs réelles sur le diamètre réel du disque . Dans ce cas , il est alors possible d' appliquer le principe de symétrie de Schwarz afin de prolonger analytiquement la fonction ? sur le demi-disque unité inférieur . Cette méthode peut très bien être appliquée à la fonction Q. Elle nécessite néanmoins de connaître les fonctions ? et T sur les différents arcs de cercle représentant les frontières de l' écoulement dans le plan de calcul . Dans les cas les plus simples , le demi-cercle n' est composé de l' image que d' un seul type de frontière ( ligne de courant ou paroi solide ) , et la détermination de la fonction ? ou Q peut se faire par la relation de Schwarz-Villat . Dans un cas plus général , les fonctions ? et T sont successivement définies sur le demi-cercle , et il faut résoudre un problème mixte . Nous reviendrons sur ces différents problèmes par la suite ( chapitre III ) . De manière générale , la connaissance de ? ou T sur le demi-cercle nécessite la connaissance de la bijection reliant les frontières de l' écoulement dans les plans ( z ) et ( ? ) , respectivement plans physique et de calcul . La fonction ? , ou la fonction de Villat , n' est connue que sur des frontières rectilignes . En raisonnant sur le rayon de courbure des obstacles , il a été possible de résoudre de nouveaux problèmes d' écoulement comme celui d' un écoulement décollé derrière un cylindre ( voir , par exemple , Jacob ( 1959 ) ) . De manière générale , la méthode de résolution des écoulements bidimensionnels de fluide parfait revient à transformer conformément le domaine de l' écoulement dans les plans du potentiel ( f ) et de la vitesse complexe ( w ) , sur celui dans un plan de calcul auxiliaire ( ? ) , afin de déterminer les expressions des fonctions et . Les frontières de l' écoulement dans ( f ) sont simples ( portions de droites ) ; la transformation du domaine dans ( ? ) est donc aisée . Par contre , dans le cas général où les frontières sont courbes , la transformation conforme dans le domaine ( w ) n' est pas possible . Il a donc été introduit deux variables intermédiaires ( Q et ? ) , reliées toutes les deux à la vitesse complexe , pour lesquelles l' expression de la transformation conforme du plan ( ? ) sur le plan ( Q ) ou ( ? ) est remplacée par la résolution d' un problème mixte aux limites . I.6.2 . Nouveaux développements L' évolution de ces méthodes de résolution a connu ensuite un nouvel essor grâce à la révolution des moyens de calcul . Plusieurs auteurs développèrent de nouvelles méthodes de calcul , basées sur celles de Joukowski ou de Levi-Civita , pour des formes de parois de plus en plus complexes . La première méthode alors développée a été introduite par Bloor ( 1978 ) afin d' étudier l' amplitude de vagues permanentes et périodiques à la surface d' un radier à fond plat en tenant compte de la gravité et/ou de la tension sur la surface libre . La méthode utilisée par Bloor est basée sur la généralisation de la transformation de Schwarz-Christoffel et transforme un demi-plan ( ? ) sur une région limitée par des segments linéaires et des portions de courbes . Elle s' exprime sous la forme où ? représente la tangente de la frontière par rapport à l' horizontale et C une fonction déterminée par la transformation du plan ( ? ) . La géométrie des parois solides doit être fournie sous la forme d' une fonction analytique . Cette méthode a été appliquée à différents types d' écoulement comme celui sur un radier en forme de marche en tenant compte de la gravité du fluide ( King et Bloor ( 1987 ) ) , l' écoulement le long d' un radier de forme quelconque en tenant toujours compte de la gravité ( King et Bloor ( 1990 a ) et b ) ) ) , l' impact d' un jet sur une paroi poreuse ( King ( 1990 ) ) , l' étude de l' interface entre deux fluides de densité différente s' écoulant sur un radier plat ou dans une canalisation plate ( Moni et King ( 1995 ) ) et enfin , plus récemment par Peng et Parker ( 1997 ) pour l' étude de l' impact d' un jet sur un mur infini de géométrie prétendue quelconque . Nous reviendrons sur ce dernier cas dans le chapitre V de ce mémoire . Dans tous les cas , cette méthode de transformation résulte dans l' expression d' une ou plusieurs équations intégro-différentielles . Dans certains des articles cités précédemment , les auteurs proposent des solutions linéarisées approchées afin de valider leur résultats . Les écoulements bidimensionnels autour d' obstacles polygonaux peuvent être étudiés « classiquement » en transformant conformément le domaine physique de l' écoulement sur le plan log-hodographe ( ( Q ) ou ( ? ) ) . Dans la pratique , cette transformation conforme n' est pas aisée , ce qui limite l' utilisation de cette méthode . De ce fait , Elcrat et Trefethen ( 1986 ) ont développé une méthode similaire , appelée transformation de Schwarz-Christoffel modifiée . Cette méthode pratique permet de résoudre les écoulements autour d' obstacles polygonaux avec une grande précision et un faible coût au niveau du temps de calcul . La transformation conforme se fait alors sans passer par le plan log-hodographe et s' exprime : où ? k est l' angle formé par deux segments polygonaux consécutifs et ? k l' inclinaison par rapport à l' horizontale d' un segment . Les obstacles sont constitués d' une à deux douzaines de segments linéaires ( figure 2.4 ) . Cette méthode a été reprise par Dias , Elcrat et Trefethen ( 1987 ) pour l' étude de jets issus de buses quelconques sans tenir compte de l' effet de la pesanteur , puis par Dias et Elcrat ( 1992 ) pour des écoulements avec une ligne d' arrêt . Enfin , une dernière méthode a été introduite par Birkhoff et Zarantonello ( 1957 ) . Elle consiste à transformer conformément le plan physique de l' écoulement sur un plan de calcul ( ? ) afin d' obtenir une équation intégro-différentielle . Le maillage du domaine dans ce dernier plan est constitué de N points choisis de manière appropriée . La valeur principale de l' équation de Cauchy est alors déterminée pour ces N points . Suivant les cas étudiés , cette équation peut faire intervenir des grandeurs inconnues ( comme le nombre de Froude pour les écoulements sur radier ) . Une équation spécifique supplémentaire pour chacune de ces grandeurs doit être établie . Finalement , un système non-linéaire à N * équations et N * inconnues est obtenu . Des algorithmes itératifs basés sur la méthode de Newton et disponibles dans des bibliothèques informatiques ( de type IMSL ) permettent de le résoudre avec une bonne précision . Un grand nombre de configurations d' écoulements a été étudié avec cette méthode . Nous pouvons noter parmi eux : l' étude d' un jet libre retombant sous l' effet de la gravité ( Vanden-Broeck et Keller ( 1982 ) )  ; les écoulements sur radier plat avec un obstacle semi-circulaire ( Forbes et Schwartz ( 1982 ) , Vanden-Broeck ( 1987 ) et Sha et Vanden-Broeck ( 1993 ) ) , triangulaire ( Dias et Vanden-Broeck ( 1989 ) ) ou trapézoïdal ( Hanna , Abdel-Malek , Abd-el-Malek ( 1996 ) ) à chaque fois en tenant compte de la gravité  ; les radiers avec source submergée ( Mekias et Vanden-Broeck ( 1989 ) et ( 1991 ) )  ; un obstacle glissant sur la surface libre au-dessus d' un radier à fond plat ( Vanden-Broeck et Keller ( 1989 ) )  ; les écoulements sur radier à fond plat avec plaque plane inclinée sous la surface libre ( Vanden-Broeck et Dias ( 1991 ) )  ; les écoulements issus de buses verticales et passant sous des portes ( Vanden-Broeck ( 1986 ) et Lee et Vanden-Broeck ( 1993 ) )  ; les écoulements issus d' un trou dans un mur vertical ( Tuck ( 1987 ) )  ; les buses avec formation de deux jets sous l' effet de la gravité ( Dias et Vanden-Broeck ( 1990 ) )  ; les écoulements issus de déversoirs ( Vanden-Broeck et Keller ( 1987 ) , Dias , Keller et Vanden-Broeck ( 1988 ) et Dias et Tuck ( 1991 ) )  ; les écoulements à l' avant de navires se déplaçant à vitesse constante ( Vanden-Broeck ( 1989 ) et Dias et Vanden-Broeck ( 1993 ) )  ; les écoulements avec deux points d' arrêt ( Vanden-Broeck et Dias ( 1996 ) )  ; et enfin , les écoulements avec surface libre de dimension finie , s' écoulant sous l' effet de la gravité ( Daboussy , Dias et Vanden-Broeck ( 1998 ) ) . Comme nous l' avons vu , beaucoup d' écoulements ont été traités par l' une ou l' autre de ces méthodes mais , soit la gravité n' est pas prise en compte ( méthode de Schwarz-Christoffel modifiée ) , soit une équation des parois doit être fournie ( méthode de Schwarz-Christoffel généralisée ) , soit les obstacles ou parois restent , dans l' ensemble , très simples ( portions de droite ou arcs circulaires ) . Une autre méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait a été développée depuis quelques années déjà au Laboratoire de Mécanique et d' Energétique . Elle peut être applicable à plusieurs types d' écoulement et pour des géométries de parois solides quelconques . La méthode peut également tenir compte de la gravité , de la tension superficielle ou de la compressibilité du fluide . C' est cette méthode que nous allons à présent développer , et nous verrons ensuite quelles ont été ces principales applications . I.7 . Méthode d' étude d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait La présentation de la méthode générale utilisée dans cette étude est faite sur un cas particulier traité par Toison ( 1998 ) que nous allons valider expérimentalement : le modèle à parois virtuelles . I.7.1 . Le modèle à parois virtuelles C' est Helmholtz qui , le premier , a modélisé des écoulements autour d' obstacles avec sillage épais en considérant une zone de fluide mort , à la pression infinie amont , s' étendant à l' infini ( figure 2.6 ) . Il traite alors des obstacles élémentaires comme des plaques planes , des dièdres ou des cercles . Dans tous les cas , la méthode numérique sous-estime très largement les efforts de traînée par rapport à des valeurs expérimentales . Par exemple , dans le cas d' une plaque plane de dimension finie placée perpendiculairement à l' écoulement , Helmholtz prédit un coefficient de traînée de 0 , 88 , alors qu' expérimentalement il est proche de 2 . Un modèle à sillage fini ( figure 2.7 ) a ensuite été envisagé par Cisotti , mais ce type de traitement ne peut pas prévoir des traînées non nulles puisque le sillage ne s' étend pas à l' infini . Afin de faire varier la pression dans la poche de fluide mort à l' arrière de l' obstacle , Riabouchinski ( 1921 ) considéra un obstacle image . Cette méthode permet également de ne traiter que des obstacles non portants , et est donc d' un intérêt limité d' un point de vue pratique . Le modèle à jet réentrant introduit par Efros fait disparaître , par un artifice mathématique , une partie du jet contournant l' obstacle . Afin de prédire au mieux les efforts de traînée pour des systèmes portants , la méthode introduite par Helmholtz a été reprise . Un modèle de sillage dissipatif modélisant le sillage en deux zones ( figure 2.6 ) a été introduit par Eppler ( 1954 ) et Roskho ( 1954 ) , puis il fut complété par Wu et Wang ( 1964 ) . Ce modèle considère le sillage à proximité de l' obstacle comme une zone de fluide mort à une pression constante différente de la pression infinie . Cette zone est ensuite étendue à l' infini par une bande horizontale dans laquelle la pression du fluide varie progressivement jusqu'à la pression infinie . Ce modèle représente donc mieux la réalité ( la pression variant bien en réalité d' une pression de poche juste derrière l' obstacle à la pression infinie quand on s' en éloigne ) . Pour que la méthode donne de bons résultats , il faut que la pression P0 soit imposée par l' utilisateur à la pression de poche expérimentale . Ceci limite fortement l' utilisation de la méthode . Rosko et Wu reprirent alors un autre modèle introduit tout d' abord par Joukowski . Elle consiste à introduire deux plaques semi-infinies permettant au sillage à l' infini de conserver une pression P0 différente de P ? ( modèle à parois virtuelles ) . La prédiction des efforts globaux se trouve alors améliorée sans avoir à introduire des valeurs expérimentales en données au problème . I.7.2 . Présentation de notre méthode numérique La numérisation de l' écoulement autour d' obstacles quelconques avec des parois virtuelles en utilisant la méthode générale développée au laboratoire a été étudiée par Toison ( 1998 ) ( voir aussi Toison , Legallais et Hureau ( 1997 ) ou Legallais ( 1994 ) et Legallais , Hureau et Brunon ( 1995 ) pour le cas d' obstacles symétriques ) . Elle nous permet ici d' illustrer le fonctionnement de la méthode . Dans cette optique , les calculs ne seront pas explicités ( cf. annexe 2 pour plus de détails ) , et des commentaires sur le fonctionnement de la méthode dans d' autres configurations seront émis le cas échéant . Soit un obstacle de forme quelconque , mais connue , placé dans un écoulement bidimensionnel de fluide parfait , de vitesse et de pression à l' infini . Notons B et F les points de décollement supérieur et inférieur sur l' obstacle . Leur position est connue ( soit expérimentalement , soit par couplage avec une méthode de calcul de couche limite ) et fait partie des données du problème . Le point d' arrêt de l' écoulement sur l' obstacle est noté A. Le sillage est représenté par une zone de fluide mort s' étendant à l' infini et où la pression est différente de . Il est délimité par les lignes de courant LBC et LFE au départ de l' obstacle , prolongées à l' infini par les parois planes virtuelles CD et ED . Le problème consiste à déterminer la position du point d' arrêt A , la géométrie des lignes de courant LBC et LFE , la pression dans la poche , la position des parois virtuelles et les efforts globaux exercés sur l' obstacle . Remarquons que la pression est un résultat de la résolution du problème , et non une donnée comme pour le modèle à sillage dissipatif . Le domaine de l' écoulement représenté dans le plan physique ( z ) est transformé conformément sur le plan du potentiel complexe ( f ) . De manière générale , les frontières du domaine dans ce dernier plan sont composées de portions de droites . Le passage du plan ( z ) au plan ( f ) se fait par la relation ( II.2 ) . La représentation du domaine dans le plan de la vitesse complexe ( w ) n' est pas connue du fait des parois courbes . Il est donc fait appel aux fonctions de Joukowski et de Levi-Civita pour décrire la vitesse complexe . Dans le cas de l' étude d' écoulements avec parois virtuelles , nous utilisons la fonction de Joukowski Q et la méthode de Levi-Civita . Le principe de symétrie de Schwarz prolonge l' étude , dans le plan de calcul ( ? ) , du demi-disque unité supérieur au disque entier . La figure 2.9 représente les domaines de l' écoulement dans les plans ( f ) , ( Z ) plan auxiliaire , et ( ? ) . Notons que la transformation de ( Z ) sur ( f ) se fait par transformations conformes successives . Le plan de transformation ( Z ) n' est qu' un plan intermédiaire entre ( f ) et ( ? ) permettant d' exprimer la transformation conforme . Dans le plan de calcul ( ? ) , les parois virtuelles sont transformées sur le diamètre réel . Suivant le type d' écoulement , le demi-cercle unité du plan ( ? ) ( ou le cercle dans le cas d' autres configurations d' écoulement ) , représentant les frontières du domaine , peut être l' image de parois solides et/ou de lignes de courant . Nous avons donc à résoudre , dans le cas général , un problème mixte aux limites . En effet , si la fonction choisie est Q ( resp . ? ) , sa partie imaginaire ( resp . réelle ) est connue sur les arcs de cercle représentant des parois rigides , et sa partie réelle ( resp . imaginaire ) sur les lignes de courant . Dans le cas d' obstacles symétriques , il s' agit d' un problème mixte à deux zones doublement symétrique ( par rapport aux deux axes ) . Pour un obstacle de géométrie quelconque , comme ceux traités par Toison , nous avons un problème mixte simplement symétrique ( utilisation du principe de réflexion de Schwarz ) . Dans le chapitre III de ce mémoire , nous allons étudier la numérisation du problème mixte à 2p zones et l' appliquer dans la première partie du chapitre IV . Dans certains cas , le problème mixte est dégénéré en un problème de Dirichlet lorsque le demi-cercle n' est composé que de l' image d' un seul type de frontière . Dans tous les cas , la détermination de la fonction dans son ensemble ( par la résolution du problème mixte ou par la formule de Schwarz-Villat ) ne peut se faire que si la bijection ? entre les frontières de l' écoulement dans les plans physique et de calcul est connue . De plus , par définition de la fonction ? , l' abscisse curviligne sur l' obstacle ( et donc la répartition des points de calcul sur le cercle unité ) peut être définie par la relation : . ( I.14 ) Il en résulte un système fonctionnel pouvant être résolu analytiquement par un schéma itératif , initialisé par une bijection quelconque . Lorsque la convergence est atteinte , la fonction Q ou ? est alors connue sur tout le domaine de l' écoulement . La géométrie des lignes de courant et/ou des parois solides et/ou la répartition de pression sur ces parois peuvent être déterminées . Les lignes de courant ( ) peuvent être tracées et , par intégration des coefficients de pression , les efforts globaux peuvent être calculés le cas échéant . La répartition de vitesse peut présenter des singularités en des points particuliers comme les points d' arrêt ou les angles vifs ( bord de fuite pour un profil ) . L' angle que fait la vitesse avec l' axe a deux valeurs si l' on se place infiniment près de part et d' autre du point singulier , et le module de la vitesse tend vers zéro , c' est-à-dire que avec si la fonction vitesse utilisée est ? et s' il s' agit de Q. La singularité est traitée en séparant une fonction singulière ( resp . ) présentant la même singularité que la fonction ? ( resp . Q ) d' une fonction continue ( resp . ) . L' expression de la fonction singularité est connue et c' est ou qui ne l' est que partiellement au départ . Le problème mixte ( ou la formule de Schwarz-Villat ) est alors appliqué à la fonction continue . Soit ? la tangente à la paroi solide par rapport à l' axe horizontal . La notation ? représente aussi bien la valeur de l' angle que la fonction qui fait correspondre la position d' un point sur le cercle et l' angle de la tangente dans le plan physique du point correspondant . Dans le cas de l' étude du modèle à parois virtuelles , la singularité s' exprime Suivant les cas , certaines grandeurs intervenant dans l' expression des fonctions ? ou Q peuvent être inconnues ( grandeurs liées à la transformation conforme de certains points de l' écoulement ) . Il faut alors trouver des relations supplémentaires . Parmi elles , on peut noter les conditions aux limites de l' écoulement , des conditions sur la vitesse amont ou aval , l' écriture du théorème des quantités de mouvement pour une surface de contrôle suffisamment grande ( surface S de la figure 2.8 pour le cas des parois virtuelles ) ou la condition d' existence du problème mixte le cas échéant ( voir chapitre III ) . Remarquons dès à présent que rien dans notre formulation du problème n' entraîne l' existence et l' unicité d' une solution . Par exemple , si l' on considère le problème direct de l' écoulement d' un fluide autour d' un obstacle ( la géométrie de la paroi solide est fixée ) , il semble clair qu' il existe une solution unique . Il en sera de même si la répartition de pression le long d' une paroi solide de géométrie quelconque est inconnue . Mais si cette répartition est quelconque ( voir chapitre V ) , il n' est pas évident qu' une solution existe . Un organigramme succinct de la méthode générale de résolution des écoulements bidimensionnels de fluide parfait utilisée dans ce mémoire est présentée figure 2.10 pour le cas d' un problème direct . I.7.3 . Confrontation de résultats expérimentaux et numériques Les résultats que nous allons présenter ici concernent un cylindre elliptique . Afin d' étudier l' écoulement bidimensionnel , il est placé entre deux plaques de garde dans la soufflerie Lucien Malavard . Les caractéristiques de cet obstacle sont présentées figure 2.11 . Cette confrontation entre résultats numériques et expérimentaux est réalisée pour valider le modèle de numérisation , puisqu' il n' existe pas de résultats correspondants dans la littérature et pour savoir si cette méthode doit être améliorée ( problème mixte ) en vue de son application à d' autres écoulements . Deux campagnes d' essais distinctes ont été menées . Lors de la première , un sondage grâce au système de déplacement 3D du sillage avec un fil chaud une composante et un relevé des pressions sur l' ellipse ont été effectués . Les résultats ont été rapidement présentés dans la thèse de Toison ( 1998 ) . Lors de la seconde campagne , la détermination de la géométrie du sillage émis par le cylindre a été effectuée par PIV . Une confrontation des résultats obtenus par les deux méthodes expérimentales et les différentes méthodes numériques ( notamment celle de Toison ) est développée ici ( Weber et al. ( 1999 ) ) . Le relevé des pressions sur l' obstacle par le biais des prises de pression nous a permis de positionner les points de décollement sur l' obstacle , mais aussi d' évaluer les coefficients adimensionnés de traînée et de portance ( respectivement notés Cx et Cy ) . Une pesée globale de l' obstacle sur la balance aérodynamique six composantes de la soufflerie n' a pas été possible . En effet , un des disques ( de diamètre 1   m ) sur lesquels le cylindre était fixé , se déformait légèrement sous l' action du vent et des efforts mis en jeu . Il a donc été nécessaire , pour garder un écoulement bidimensionnel , de les fixer , et cela n' a donc pas pu rendre possible la comparaison du coefficient de traînée expérimental et numérique . Nous pouvons remarquer ( figure 2.12 ) que la valeur du coefficient de pression dans la poche donnée par le calcul avec le modèle à parois virtuelles surestime la réalité mais en est plus proche que celle obtenues avec le modèle des sillages de Helmholtz ( numérisation présentée en annexe 1 ) . La surestimation du coefficient de pression entraîne une sous-estimation du coefficient de traînée par les deux méthodes numériques . La figure 2.12 regroupe les résultats obtenus pour une incidence et deux valeurs du nombre de Reynolds défini ici par la relation : avec ? le coefficient de viscosité cinématique de l' air ( ) . Etudions à présent la géométrie des lignes de sillage obtenue par les deux méthodes expérimentales . Les résultats du sondage avec un fil chaud une composante sont présentés figure 2.13 pour une incidence du cylindre de 30 ° et un nombre de Reynolds de 240 000 ( ) . Le balayage vertical est régulier ( pas de 5 mm ) et a été effectué respectivement pour trois et cinq positions suivant l' axe du vent , à l' extrados et à l' intrados . Le champ de vitesse horizontale est représenté en utilisant le logiciel MATLAB . La limite du sillage est bien visible : saut rapide du module de la vitesse . Une vitesse très faible et quasi uniforme est trouvée dans la poche , de l' ordre de 5 m / s pour une vitesse amont de 30 m / s . Les résultats numériques obtenus par Toison sont également représentés sur cette figure . Malgré l' utilisation d' une sonde à une composante et les hypothèses restrictives de la méthode numérique ( fluide parfait ) , la géométrie des lignes de sillage obtenue numériquement est en bon accord avec l' expérience , au moins au niveau de l' obstacle . Bien évidemment , dans la réalité , et c' est ce qui apparaît dans les résultats expérimentaux , il ne s' agit pas d' une ligne ( surface ) de séparation comme pour le calcul , mais plutôt d' une bande séparant deux zones de fluide dans lesquelles la vitesse est différente , mais constante . Les résultats obtenus par PIV lors de la seconde campagne d' essais sont représentés figure 2.15 . Les caractéristiques de notre système de PIV sont fournies dans le chapitre I de ce mémoire , mais notons tout de même ici que la nappe laser obtenue est d' une épaisseur de 1 mm environ pour une divergence de 60 °. Les différentes zones visualisées ont à chaque fois une dimension de 180 x 180 mm environ ce qui nous a contraint à superposer trois vues différentes pour couvrir l' ensemble de la zone qui nous intéresse ici . Notons que la partie supérieure a été obtenue en inclinant le cylindre à une incidence de & 226;& 128;& 147; 30 ° ( la nappe laser provenant du plancher ) . Ceci est tout à fait valable puisque l' obstacle est rigoureusement symétrique et placé au centre de la veine . Les résultats présentés ici sont obtenus par découpage de la zone visualisée en zones d' interrogation de 32 x 32 pixels , soit environ 3 x 3 mm et un taux de recouvrement entre ces zones de 50 % . En accord avec les vitesses moyennes dans l' écoulement , le temps ? t entre deux pulses laser est fixé à 20   µs . Le post-traitement utilisé ici a été très succinct : application d' un filtre passe-bande sur les composantes des vecteurs vitesse instantanée . En effet , les champs instantanés étant déjà très satisfaisants , une moyenne sur cinquante couples d' images a été effectuée . La zone de visualisation étant plus grande que pour le fil chaud , surtout à l' avant de l' obstacle , nous observons les principales caractéristiques d' un tel écoulement , comme l' accélération du fluide au contournement du bord d' attaque . La PIV nous permet également de visualiser les zones de recirculation du fluide dans le sillage , et ce même pour le champ moyen . Le traitement d' images instantanées permet de visualiser les structures tourbillonnaires , ces dernières n' étant évidemment pas prises en compte dans la méthode numérique . Le positionnement du point d' arrêt n' a pas été possible ici parce que le champ de vision de la caméra est en partie occulté par l' ombre du cylindre et à cause de l' inclinaison de la nappe laser . En changeant la position de la nappe et de la caméra , la détermination expérimentale précise de l' emplacement du point d' arrêt serait possible . Cette expérience n' a pas été faite ici puisque l' information principale recherchée était la géométrie des lignes de sillage . Les résultats numériques montrent , à nouveau , une bonne concordance avec l' expérience . Pour cette même incidence et toujours pour un nombre de Reynolds de 240 000 , un second régime de l' écoulement a été observé pour les deux techniques de mesure . Ce second régime est , par exemple , obtenu en plaçant une canne d' ensemencement en amont dans le convergent et dans la section du plan laser ( on modifie alors la turbulence moyenne dans la veine ) , en changeant l' état de surface du cylindre ( en enlevant , dans cette expérience , l' adhésif qui protégeait les prises de pression de l' huile provenant de l' ensemencement ) ou en diminuant brusquement et fortement la vitesse de l' écoulement pour atteindre la vitesse voulue . Dans ce régime , la position du point de décollement à l' extrados est inchangée , mais celle à l' intrados est fortement déplacée vers l' aval . Les répartitions de pression sont alors très différentes entre les deux régimes ( figure 2.16 ) . Le déplacement du point de décollement caractérise la présence d' une couche limite turbulente à l' intrados au second régime , alors que lors du premier régime , on observait le décollement d' une couche limite laminaire . En effet , la transition entre couche limite laminaire et turbulente , pour un nombre de Reynolds fixe , est essentiellement fonction de l' intensité des fluctuations de l' écoulement amont et de la rugosité de l' obstacle . Une augmentation de l' un de ces deux paramètres fait diminuer la valeur du nombre de Reynolds critique , et par conséquent , fait avancer le point de transition laminaire / turbulent de la couche limite . La différence de « structure » de la ligne de sillage est visible sur les représentations de la figure 2.17 sur laquelle , pour chacun des régimes , un agrandissement de la zone de décollement à l' intrados à partir des résultats de PIV est représenté . La méthode numérique ne donne pas de résultats dans le cas du second régime . En effet , la ligne de sillage définie à l' intrados dans le second régime tend à se refermer et à former , par conséquent , un sillage étroit avec une pression de sillage proche de zéro ( voir Toison ( 1998 ) ) . La position des parois virtuelles tend alors vers l' infini aval ce qui peut entraîner des difficultés de convergence du système . La pression de la poche étant proche de zéro , la modélisation par les sillages de Helmholtz donne des résultats convenables . La figure 2.18 représente le champ de vitesse obtenu par sondage au fil chaud et par PIV ainsi que les résultats numériques d' un calcul avec sillage de Helmholtz . D' après cette figure , nous pouvons remarquer les limites du système de sonde à fil chaud une composante . En effet , en dehors de la zone non perturbée de l' écoulement , et surtout au niveau de la ligne de sillage , la vitesse a une composante verticale non négligeable . Cette dernière n' est absolument pas prise en compte dans le relevé au fil chaud une composante . Les résultats obtenus par PIV pour une seconde inclinaison ( premier régime ) sont présentés figure 2.19 . Les paramètres de la PIV ont été modifiés : la zone visualisée est maintenant de 320   x   320   mm pour une zone d' interrogation de 32   x   32   pixels , soit 5   x   5   mm toujours pour un taux de recouvrement de 50   % . L' intervalle entre les deux pulses laser est toujours de 20 µs et le nombre de Reynolds de 240 000 ( ) . L' ombre de l' ellipse empêche de visualiser l' ensemble de l' écoulement autour du cylindre , mais la géométrie du sillage est bien délimitée . Les résultats montrent à nouveau une bonne concordance au niveau de la géométrie des lignes de sillage entre la méthode numérique et l' expérience . I.7.4 . Conclusions sur le modèle à parois virtuelles Les différents résultats expérimentaux présentés ont montré une bonne estimation de la géométrie du sillage émis par un cylindre elliptique placé dans un écoulement bidimensionnel par la méthode numérique développée par Toison . Ils ont également montré les limites de cette modélisation des sillages de Joukowski ( parois virtuelles ) qui ne donne de meilleurs résultats , par rapport au modèle de Helmholtz , que pour des décollements laminaires . La PIV permet de retrouver plus d' informations sur le sillage , comme par exemple les structures tourbillonnaires derrière l' obstacle et la position exacte des points de décollement . Pour observer les premières avec le fil chaud , il aurait fallu utiliser un fil chaud deux composantes , mais avec notre montage expérimental , la position exacte des points de décollement n' était quant à elle pas accessible . En effet , le fait d' être à la proximité de l' ellipse déforme le signal du fil chaud , ce qui rend impossible les relevés près de la surface et ce , malgré la précision de déplacement du système 3D . I.8 . Développements existants de la méthode et perspectives Cette méthode numérique a été développée à la fin des années 1980 au Laboratoire de Mécanique et d' Energétique afin de traiter des géométries d' obstacles les plus générales possible , aussi bien en utilisant le modèle des sillages de Helmholtz que d' autres modèles . Les premiers résultats ont été obtenus par Hureau ( 1988 ) ( voir aussi Hureau , Mudry et Niéto ( 1987 ) ) pour les sillages de Helmholtz . Toujours à propos de ce type d' écoulements , Legallais et Hureau ( 1994 ) ont proposé une comparaison de la méthode numérique développée avec un calcul équivalent réalisé par une méthode de singularités ( voir également Legallais ( 1994 ) ) . Les résultats furent satisfaisants malgré la difficulté de résolution de problèmes avec écoulement décollé par la méthode des singularités . Ils montrèrent aussi la possibilité pour notre méthode d' être couplée avec un calcul de couche limite ( Fédioun ( 1991 ) ) afin de prédire la position des points de décollement , donnée pour notre méthode . Ces travaux se rapportant aux sillages de Helmholtz ont été étendus par la suite à des obstacles symétriques en ajoutant des parois virtuelles ( modèle de Joukowski ) pour prédire au mieux les efforts globaux ( Legallais , Hureau et Brunon ( 1995 ) ) . La thèse de Toison ( 1998 ) permit l' étude d' obstacles dissymétriques ( Toison , Legallais et Hureau ( 1997 ) ) par la résolution d' un problème mixte à quatre zones simplement symétrique . Nous proposons ici de prolonger cette étude dans le cas d' obstacles quelconques placés dans une canalisation de géométrie , elle aussi , quelconque . La théorie des sillages de Helmholtz sera également utilisée lors de l' étude de systèmes déformables avec sillage épais : les voiles souples . Ce dernier point , à notre connaissance , n' est traité dans la littérature que pour des écoulements attachés , et peut présenter un intérêt pratique non négligeable . Le travail présenté ici à ce sujet n' est qu' une étude préliminaire sur les voiles et sera amené à être développé par la suite en raison des résultats encourageants obtenus . Notre méthode de résolution a également été appliquée pour les écoulements non décollés . Le problème direct ( connaissance de la géométrie de l' obstacle et détermination de la répartition de pression ) ne présente guère de difficultés et a été traité par Hureau très tôt . La méthode peut également être appliquée pour la résolution du problème inverse correspondant ( Hureau et Legallais ( 1996 ) ) : à partir d' une répartition de pression quelconque , il faut déterminer la géométrie de l' obstacle . Dans le cas d' un problème direct notre méthode peut être comparée avec différentes méthodes existant dans la littérature , et en particulier avec la méthode des nappes tourbillonnaires de Couchet-Mudry ( Mudry ( 1982 ) ) en écoulement stationnaire . Nous avons également pu traiter des problèmes faisant intervenir les jets . Hureau , Brunon et Legallais ( 1996 ) déterminèrent ainsi la géométrie des lignes d' un jet lors de son impact sur un obstacle de dimension finie . Nous proposons ici d' étendre cette étude au cas d' un obstacle de dimension infinie . Nous considérerons également le problème inverse correspondant ( Weber et Hureau ( 1999 a ) et b ) ) ) dans le but d' étudier une configuration d' écoulement qui n' était pas traitée de manière générale dans la littérature  : l' impact de deux jets de largeurs et directions quelconques ( Hureau et Weber ( 1998 ) ) . Comme nous l' avons déjà fait remarquer , notre méthode de résolution peut se satisfaire du retrait de certaines des hypothèses restrictives de la théorie des écoulements bidimensionnels . Toison ( 1998 ) considéra la gravité du fluide et appliqua alors la méthode aux écoulements sur radiers et à ceux issus de buses ou de déversoirs ( Toison et Hureau ( 1997 ) et ( 1999 ) ) . A chaque fois , la géométrie des parois est tout à fait quelconque . Avec l' hypothèse de fluide pesant , la modélisation d' écoulements sur radiers avec la présence d' une onde sur la surface libre n' a pas été possible . Il paraît également envisageable de tenir compte , dans la résolution , des effets de compressibilité et de la tension superficielle . Ce point n' a pas encore fait l' objet d' une étude précise . Il en est de même en ce qui concerne les problèmes d' impulsion sur un obstacle flottant ou d' impact de vagues sur un mur . L' étude de ce type d' écoulements par notre méthode de résolution entraîne la détermination d' une transformation conforme de l' intérieur d' un domaine dans le plan physique sur l' intérieur du cercle unité . Ce problème est en cours d' étude . Pour des écoulements réellement instationnaires , il faut se référer à la théorie de Couchet-Mudry . III . Le problème mixte à 2p zones Notre méthode de résolution d' écoulements bidimensionnels de fluide parfait est basée sur l' étude d' un problème aux limites résolu grâce à l' analyse complexe . Comme nous l' avons vu précédemment , les frontières de l' écoulement peuvent être de deux types : lignes de courant ou parois solides . Le domaine dans le plan physique est transformé conformément sur le plan de calcul , de manière à faire correspondre l' ensemble des frontières au cercle unité . La résolution du problème se ramène donc souvent à l' étude de problèmes mixtes . Legallais ( 1994 ) et Toison ( 1998 ) ont mené des études préliminaires en utilisant des problèmes mixtes à deux ou quatre zones possédant une ou deux symétries . L' étude de nouveaux écoulements a nécessité l' utilisation d' un problème mixte plus général . La numérisation du problème mixte à 2p zones ( ) est présentée et les résultats analysés . Une application sera traitée pour un obstacle placé dans une canalisation dans la première partie du chapitre IV . I.9 . Rappels théoriques & 226;& 128;& 147; Le problème de Riemann-Hilbert Les transformations conformes d' un écoulement sur un plan de calcul dans lequel les frontières correspondent au cercle unité placent la résolution du problème dans le cadre mathématique général des fonctions complexes . Nous avons donc à résoudre un problème classique dans ce contexte : le problème de Hilbert . I.9.1 . Les problèmes de Hilbert et Riemann-Hilbert Le problème général de Hilbert s' exprime de la façon suivante : Soit L un contour quelconque de classe C1 divisant le plan D de la variable complexe en un domaine intérieur D + et un domaine extérieur D- , et deux fonctions de position G ( t ) et g ( t ) sur le contour satisfaisant la condition de Hölder ? , G ( t ) étant non nulle . Résoudre le problème de Hilbert consiste à trouver deux fonctions ? + ( z ) analytique dans D + et ? - ( z ) analytique dans D- , incluant ( définissant une fonction holomorphe ? avec coupure ) qui satisfassent , sur le contour L la relation linéaire . ( I.15 ) La fonction G ( t ) est appelée le coefficient du problème de Hilbert et g ( t ) est le terme libre . Ce problème a tout d' abord été étudié par Hilbert , avant d' être étendu à une union de contours ( ) par Riemann . C' est la raison pour laquelle ce problème est souvent appelé le problème de Riemann . Il a ensuite été généralisé par des auteurs comme Gakhov ( 1966 ) ou Muskhelishvili ( 1977 ) aux cas d' une union d' arcs et pour des fonctions G ( t ) et g ( t ) présentant des discontinuités . Le problème particulier que nous avons à résoudre ici est de trouver une fonction analytique ? , holomorphe dans D , dont nous connaissons alternativement sa partie réelle u et imaginaire v sur un contour continu L. Ce problème a été traité par Hilbert puis Riemann . Il est donc appelé le problème de Riemann-Hilbert et s' exprime : Soit D + une région finie ou infinie du plan bordée par un contour continu L. Résoudre le problème de Riemann-Hilbert consiste à trouver la fonction ? ( ) , holomorphe sur D + et continue sur , satisfaisant la condition aux limites sur L , ( I.16 ) où a , b et c sont des fonctions réelles et continues sur L . I.9.2 . Résolution dans le cas du cercle unité Nous avons vu lors de la présentation générale de la méthode de résolution ( chapitre II ) que les études se font soit dans le demi-plan supérieur , soit dans une région circulaire . En effet , toute région simplement connexe peut se transformer conformément dans l' un de ces domaines D + . Dans le cadre de notre étude , D + représente le disque unité . Dans ce cas particulier ( III .2 ) peut s' écrire sur L . ( I.17 ) Il est possible d' étendre dans D- la fonction , définie dans D + , par la fonction en utilisant la relation . La fonction holomorphe définie par ? dans D + et dans D- est donc d' après ( III .3 ) solution du problème de Hilbert . Cette relation peut s' écrire avec et . La résolution du problème de Hilbert implique que , dans le cas où D + correspond au disque unité , la solution est unique et s' écrit ( I.18 ) à condition que la condition d' existence ( I.19 ) soit vérifiée . La fonction , dont l' expression sera donnée plus tard , est appelée solution fondamentale du problème de Hilbert et ? est l' index ( X + est la restriction de la fonction X au domaine D + ) . I.9.3 . Le problème mixte à 2p zones Nous allons à présent nous placer dans le cadre précis de notre étude , c' est-à-dire dans le cas d' un domaine D du plan physique de l' écoulement composé de parois rigides et de lignes de courant comme frontières . Ce domaine est transformé conformément sur le disque unité . Les frontières sont au nombre de 2p . Le contour L représentant le disque unité est formé de l' union de deux ensembles et sur lesquels soit la partie réelle , soit la partie imaginaire de la fonction ? étudiée est respectivement connue . Dans notre méthode , ? correspond aux fonctions de Joukowski et de Levi-Civita , respectivement notées Q et ? , définies précédemment . Notons L sous la forme : avec  : et zones dans lesquelles respectivement la partie réelle et imaginaire de est connue ( ) . Toute transformation conforme est définie par la correspondance de trois couples de points dans les deux domaines . Ainsi , afin de simplifier la future numérisation de ce problème , et sans rien perdre du point de vue de la généralité du traitement effectué , il est possible de faire correspondre le point a 1 avec le point d' abscisse unité sur le cercle ( figure 3.2 ) . La solution du problème de Riemann-Hilbert se met alors sous la forme de l' équation ( III .4 ) avec La solution fondamentale du problème de Hilbert s' écrit ( car dans l' intérieur du domaine ) ( I.20 ) et l' index ? vaut ( -p ) . La condition d' existence ( III .5 ) doit toujours être vérifiée . I.9.4 . Le problème de Dirichlet Toujours dans le cas où le domaine D + correspond au disque unité , mais cette fois  -ci , la partie réelle ou imaginaire de la fonction ? est connue sur l' ensemble du contour L , le problème de Riemann-Hilbert devient alors un problème de Dirichlet . Supposons que ce soit la partie réelle de ? ( notée u ) qui soit connue sur L. Nous avons alors et ( III .3 ) devient . La solution fondamentale de ce cas particulier du problème de Hilbert s' écrit dans D + , et l' index ? est nul . La solution du problème s' écrit donc ( I.21 ) où C est une constante réelle . De manière analogue , si la partie connue de la fonction ? est sa partie imaginaire v , nous obtenons  : . ( I.22 ) Nous retrouvons bien les formules de Schwarz-Villat . I.10 . Numérisation du problème mixte à 2p zones Notons le point de calcul , le point courant d' intégration , et les différentes extrémités des arcs de cercle , , ... et ( avec et ) . Exprimons tout d' abord X + en fonction de la variable ? et des différents ( ) . Si représente un point ou , il est possible d' écrire d' où la relation  : ( I.23 ) En appliquant cette relation pour tous les points et sur le cercle , nous obtenons : ce qui peut également s' écrire  : . ( I.24 ) L' expression de , d' après . En utilisant la relation ( III .10 ) et pour un point ( ) , nous pouvons finalement écrire ( I.25 ) avec . Suivant la position du point z sur le cercle , on ne peut calculer que la partie réelle ( ) ou purement imaginaire ( ) de la fonction que l' on ne connaît pas ( la fonction calculée est également appelée ) . Ce changement se fait par le terme où l représente l' intervalle où se trouve z . Le terme est une intégrale complexe . Il faut donc étudier cette intégrale en particulier , et pour cela , nous allons utiliser la condition d' existence , supposée vérifiée jusqu'à présent . I.10.1 . Ecriture de la condition d' existence D' après la théorie du problème mixte , l' équation ( III .11 ) déterminant la solution n' est valable que si la condition d' existence ( III .5 ) est vérifiée . Cette dernière consiste en équations qui doivent toutes être vérifiées . Notons que pour , la condition d' existence est toujours vérifiée . D' après les valeurs prises par les fonctions a et b , et l' expression ( III .10 ) de , nous pouvons transformer ( III .5 ) pour  : . Pour que cette expression soit vérifiée , et puisque les éléments de la somme sont complexes , il faut que les parties réelle et imaginaire s' annulent . En tenant compte des différentes valeurs prises par l' indice k , nous pouvons écrire les équations définissant la condition d' existence sous la forme : ( I.26 ) avec et où si p est pair ( il y a bien , dans ce cas , équations puisque pour la deuxième équation est toujours vérifiée ) et si p est impair . Notons . Nous avons alors . Les relations trigonométriques permettent d' écrire : , et par conséquent où les intégrales qui interviennent sont celles qui expriment la condition d' existence . Nous avons donc la relation finale . I.10.2 . Expression finale de ? La condition d' existence permet de simplifier les intégrales complexes de l' équation ( III .5 ) , pour ne garder que la partie réelle . Notons cette dernière . Ainsi est donc purement imaginaire ou réelle suivant la valeur de l . Les intégrales sont singulières aux points , et en ? si le point de calcul est un point courant du cercle . Lors des différentes études sur le problème mixte à deux ou quatre zones doublement symétrique ( Legallais ( 1994 ) ) , l' intégration de plusieurs termes singuliers était possible . Pour le problème à quatre zones simplement symétrique ( Toison ( 1998 ) ) , l' intégration du seul terme faisant apparaître les singularités aux extrémités , accompagnée d' une discrétisation adaptée , était suffisante . Nous utiliserons ici le même type de résolution en n' intégrant que le terme : , ( I.27 ) la discrétisation étant adaptée pour suivre au mieux les infinis . Ce dernier problème sera traité en détails dans le paragraphe suivant . Les relations trigonométriques habituelles nous donnent : . Il est alors possible d' écrire : L' intégration de se fait de manière quadratique en discrétisant chaque intervalle en m segments de taille quelconque , et dont les extrémités sont notées . Les termes non singuliers sont approchés par leur valeur au milieu du segment de discrétisation ( ) . La formule discrétisée finale du calcul de ? ( z ) est alors donnée par : ( I.28 ) où et avec . Les infinis en et ont donc été supprimés pour chaque intervalle , par l' intégration de la racine faisant intervenir ces deux valeurs . Mais , un terme en pouvant lui aussi être infini a donc dû être introduit . Lors de la discrétisation , le milieu d' un intervalle ne doit donc jamais correspondre avec le milieu d' un segment de discrétisation . Nous pouvons à présent nous pencher plus précisément sur la discrétisation du problème . I.10.3 . Discrétisation sur le cercle en ? et ? Le calcul de ? ( z ) se fait en deux principales étapes : la discrétisation en ? de chaque intervalle sur le cercle ( points de calcul ) , le calcul de l' intégrale dérivant ? ( z ) ( III .14 ) . Cette dernière étape a fait l' objet de deux études distinctes et progressives se différenciant par la présence ou non d' une zone de discrétisation fine en ? autour du point de calcul . Dans la notation les parties réelle et imaginaire seront indifféremment notées ou ( resp . ou ) , et le point ou . D' après les hypothèses , u est connue sur et v sur . Pas de discrétisation en ? ? imposé En raison du terme en apparaissant dans l' équation définissant ? ( z ) et qui n' est pas intégré , il faut une discrétisation en ? autour du point de calcul ? rigoureusement symétrique . De plus , l' intégrale étant singulière en tout point , il faut que la discrétisation en ? fasse correspondre un point ? pour chaque pour ne pas s' approcher trop près des singularités . De même , et en raison d' une remarque précédente , il faut que le milieu de chaque intervalle corresponde à un point courant ? . Pour satisfaire à toutes ces conditions , nous prendrons sur chaque intervalle un nombre impair de points afin que le pas de discrétisation sur l' intervalle soit le plus proche possible d' un pas moyen déterminé par l' utilisateur . Pour vérifier la condition de symétrie autour du point de calcul , les deux intervalles entourant celui dans lequel ce dernier se trouve , sont découpés avec le même pas de discrétisation . Ainsi , par exemple , si ? se trouve dans l' intervalle , et , le pas de discrétisation sur et sera le même que celui sur . Ceci peut entraîner la présence de deux segments de longueur différente ( celui juste après le point et celui juste avant ) . Ceci n' est pas pénalisant , parce que le point de calcul ne se déplace que dans l' intervalle central et que donc , les points qui l' entourent restent symétriques par rapport à ? . Si ? appartient au premier ou au dernier intervalle ( ou 2p ) , la discrétisation symétrique se fait alors de manière identique avec les intervalles situés de part et d' autre de 0 ( ou 2 ? ) . Le calcul se fait ainsi en 2p étapes ( figure 3.3 ) . Ce mode de discrétisation , à pas imposé en ? , a été testé sur plusieurs fonctions , avec un nombre , des tailles de zone et une valeur du pas de discrétisation moyen variables . Les fonctions qui ont été choisies sont et les différentes positions des singularités choisies  : La figure 3.4 montre les résultats obtenus pour la fonction . Il apparaît que la singularité en ? n' est pas correctement suivie . En effet , plus le pas de discrétisation moyen est petit ( le temps de calcul devient alors beaucoup plus long ) , plus le calcul se rapproche de la courbe solution . Il a donc été envisagé une nouvelle discrétisation en créant une zone de raffinement pour les points courants autour de la valeur ? afin de s' en approcher au maximum sans trop pénaliser le temps de calcul . En dehors de cette zone de discrétisation fine , le calcul de l' intégrale est identique à celui présenté dans ce paragraphe . Discrétisation fine en ? autour du point de calcul Dans ce cas de calcul , la discrétisation en ? , est la même que pour le cas de calcul précédent . Le nombre de segments ( NbSegm ) de discrétisation autour de ? , ainsi que le nombre de points courants ajoutés sur chaque segment sont des données de l' utilisateur . L' évolution du nombre de points doit être progressive au fur et à mesure que l' on se rapproche du point ? . Une discrétisation avec une progression géométrique est possible , mais seulement sur un segment , parce qu' il faut toujours veiller à ce que les extrémités des segments initiaux restent des points de discrétisation ( figure 3.5 ) . La discrétisation doit toujours être rigoureusement symétrique de part et d' autre du point ? . Ce mode de discrétisation a été utilisé sur les même fonctions que précédemment , et les résultats obtenus pour la fonction et pour différents raffinements sont représentés sur la figure 3.6 . Nous pouvons remarquer que la discrétisation fine améliore beaucoup les résultats au voisinage des singularités où l' erreur relative commise devient souvent inférieure à 1 % . Cette limite de 1 % a été choisie pour définir la qualité des résultats obtenus . Malgré une discrétisation très fine ( 266 points sur 20 segments , se rapprochant à 1 / 60ème de degré du point ? ) , les erreurs relatives restent importantes au voisinage de 180 et 360 degrés , parce que la fonction est nulle en ces points . Ces pics d' erreur sont également visibles pour les autres fonctions et pour différents points . Plus la zone autour du point de calcul est discrétisée finement , plus la largeur de ces pics est faible , mais il est impossible de les éliminer totalement . Nous pouvons également remarquer , sur la figure 3.6 , que les résultats sont identiques , en dehors d' une bande autour des points singuliers , entre les calculs à pas imposé et ceux avec une discrétisation fine . La largeur de cette bande est égale à la largeur de la bande de discrétisation fine autour des points ? . Il apparaît donc inutile de raffiner le calcul en dehors de cette zone , puisque la discrétisation fine est pénalisante au niveau des temps de calcul . Ces derniers augmentent rapidement lorsque le nombre de points dans la zone de discrétisation fine devient important . Suivant les applications envisagées , il est apparu nécessaire dans certains cas ( écoulement avec sillage de Helmholtz dans une canalisation , chapitre IV ) d' utiliser un pas de discrétisation moyen de 0 , 1 degré et de rajouter plus de 2 000 points afin de bien suivre les singularités . Le temps de calcul d' une itération devient alors de l' ordre de deux minutes sur un micro-ordinateur avec processeur PENTIUM 300 MHz . Pour les fonctions testées ici , la discrétisation est nettement moins fine et le temps de calcul est de l' ordre de la dizaine de secondes . I.10.4 . Discussion sur les résultats obtenus Nous avons remarqué précédemment que malgré une discrétisation fine autour des points de calcul , certains pics d' erreur relative ne peuvent pas être éliminés . Les seuls pics d' erreur relative supérieure à 1 % apparaissent lorsque la fonction calculée s' annule , et ceci quelle que soit la fonction , le nombre de zones considérées ou la position des singularités . La largeur de ces pics n' est , dans la plupart des cas , pas très importante ( quelques dixièmes de degré ) . Deux principales exceptions apparaissent : fonction , et singularités en , fonction , et singularités en , pour lesquelles les zones d' erreur font respectivement 33 , 5 ° et 71 , 3 ° respectivement autour des points 180 ° et 270 °. Ceci peut s' expliquer par le fait que la fonction calculée s' annule avec une tangente nulle en ces points . La zone où les valeurs sont très faibles est donc importante , ce qui implique une erreur relative plus grande . En effet , nous avons remarqué que l' erreur absolue commise en ces points n' est pas plus importante que sur le reste du domaine . Elles sont d' ailleurs faibles quelles que soient les fonctions ou le nombre de zones considérés : erreur absolue moyenne de l' ordre de 10 - 4 pour les fonctions logarithmiques ou sinusoïdales et 10 - 3 pour les polynômes . Cette différence s' explique par le fait que pour les deux fonctions polynomiales étudiées , les amplitudes des fonctions sont plus importantes que dans les autres cas . Avec les fonctions analytiques testées , nous avons comparé les résultats pour différentes largeurs de zones et pour différentes valeurs de p , jusqu'à . Dans tous les cas , les résultats sont de la même qualité . Il n' est évidemment pas envisageable dans la pratique , de considérer un écoulement avec 18 zones . En effet , cela entraîne la détermination de beaucoup de relations supplémentaires pour résoudre le système itératif . Néanmoins , ces tests ont permis de montrer la robustesse du code de calcul développé . Dans le cas de l' étude d' une fonction symétrique , il est clair que la solution doit être parfaitement symétrique quelle que soit la valeur de p et la position des singularités . Si ces dernières sont placées en des points multiples du pas moyen , la discrétisation sera parfaitement symétrique quelle que soit l' itération . I.10.5 . Vérification de la condition d' existence Nous avons établi précédemment l' expression des équations décrivant la condition d' existence ( III .12 ) : avec où si p est pair , et si p est impair . Numérisation Le calcul des intégrales et se fait de manière similaire à celui de la fonction ? par intégration d' un seul terme . Avec les même notations que dans l' étude précédente , la condition d' existence s' écrit : ( I.29 ) avec où si p est pair et si p est impair . La numérisation est beaucoup moins délicate que pour le calcul de ? puisque la seule singularité qui apparaît est celle du point milieu . Nous avons vu que pour nous en affranchir , il suffit de choisir la discrétisation de chacune des zones de manière à faire correspondre un point de calcul avec le milieu ( nombre impair de points ) . Le temps de calcul des équations est alors très rapide . Pour un pas moyen sur chacune des zones de 0 , 5 ° , il est inférieur à la seconde sur un micro-ordinateur avec processeur PENTIUM 300 MHz . Résultats Nous avons repris les fonctions et les configurations étudiées précédemment et calculé à chaque fois , les équations correspondant à la condition d' existence pour les pas moyens de 1 ° , 0 , 5 ° et 0 , 2 °. Quelle que soit la configuration étudiée , les valeurs des équations décrivant la condition d' existence diminuent avec le pas moyen . L' ordre de grandeur de chacunes d' entre elles est identique pour un pas moyen fixé . Si ce dernier est de 0 , 5 ° et quelle que soit la configuration et la fonction étudiées , les équations sont inférieures ou égales à 10 - 3 ou 10 - 4 . Cette valeur diminuant au moins d' un facteur dix pour une configuration et une fonction données lorsque le pas moyen passe à 0 , 2 °. I.11 . Conclusion En conclusion , nous pouvons dire que la numérisation du problème mixte à 2p zones donne de bons résultats , et nous allons maintenant l' utiliser pour l' étude d' un cas pratique d' écoulement . C' est ce qui va être réalisé dans la première partie du chapitre IV . La numérisation du problème mixte fonctionne en « boîte noire » , c' est-à-dire que la discrétisation utilisée pour le résoudre est indépendante de celle utilisée pour la résolution du système global dans lequel il est utilisé . Enfin , la résolution du problème mixte va être le facteur prépondérant de la détermination du temps de calcul du système itératif global . En effet , dans des cas pratiques , une discrétisation relativement fine sera nécessaire . A l' inverse , ce n' est pas le problème mixte qui va limiter l' application à de nouvelles configurations d' écoulement ( au pire , le temps de calcul sera rallongé ) , mais la résolution du système itératif par le nombre de relations supplémentaires à déterminer . IV . étude d' écoulements avec sillage épais Nous allons à présent nous intéresser à deux types d' écoulement autour d' un obstacle avec un sillage épais . Le modèle choisi pour représenter le sillage est celui proposé par Helmholtz . Le premier cas consiste en un obstacle quelconque placé dans une canalisation , elle aussi quelconque . Ce problème n' est résolu dans la littérature que dans des cas d' obstacles élémentaires ( plaque plane , dièdre ou cylindre circulaire ) placés au centre d' une canalisation de section constante . Nous allons étudier ici , par la résolution d' un problème mixte aux limites à quatre zones , des configurations d' écoulements plus générales , que nous validerons par des expériences réalisées en soufflerie . La deuxième application n' a jamais été étudiée numériquement , à notre connaissance , jusqu'à présent . Il s' agit de l' écoulement autour de voiles souples et déformables en présence d' un mât , avec sillage épais . A nouveau , les résultats numériques seront comparés à des résultats expérimentaux , faute de publications parues dans la littérature à ce sujet . De nouvelles perspectives d' application de la méthode numérique dans le domaine des voiles seront alors brièvement émises . I.12 . Etude d' un obstacle avec sillage de Helmholtz placé dans une canalisation Cette étude consiste à déterminer la géométrie des lignes de courant derrière un obstacle quelconque placé dans une canalisation de géométrie quelconque . Nous en déduirons la vitesse à l' infini aval , ainsi que les hauteurs de fluide à la sortie de la canalisation . La pression dans la poche de fluide mort est également calculée . Les hypothèses générales du calcul sont celles utilisées jusqu'à présent : l' écoulement est bidimensionnel , irrotationnel et stationnaire et le fluide parfait , incompressible et non pesant . La résolution de ce problème se fait par transformation conforme du plan physique sur l' intérieur d' un disque et par la résolution d' un problème mixte à quatre zones . I.12.1 . Introduction Soit un obstacle de géométrie quelconque , mais connue , placé dans une canalisation . La surface mouillée de l' obstacle est notée CDE , D étant le point d' arrêt de l' écoulement et C et E les points de décollement ( connus ) . La paroi inférieure de la canalisation est notée AB et la paroi supérieure AF . Les extrémités amont et aval de la canalisation sont supposées planes et parallèles . L' ensemble de l' écoulement est lié à un repère de coordonnées choisi tel que l' axe corresponde à la direction des extrémités de la canalisation . La géométrie des parois solides ( obstacle et canalisation ) est supposée connue dans ce repère cartésien . Notons respectivement , et , la hauteur , la pression et la vitesse à l' infini au point amont A ( ce sont des données du problème ) . A la sortie de la canalisation , le fluide est divisé en deux par la présence de l' obstacle , la hauteur de fluide de chacune des lames est notée et . Les points B et F représentent le même point à l' infini aval , mais nous avons choisi de les différencier dans la notation afin d' éviter toute ambiguïté lors du développement théorique de la résolution du problème . La pression et la vitesse étant identiques sur les deux lames , elles sont respectivement notées et . Si la hauteur totale à la sortie de la canalisation est notée , celle de la zone de fluide mort ( dans laquelle la vitesse est nulle ) sera appelée H . L' ensemble de ces notations est reporté sur la figure 4.1 . La fonction vitesse complexe w sur l' ensemble du domaine de l' écoulement doit satisfaire les conditions aux limites et les équations de Bernoulli et de la conservation du débit massique . Ces différentes conditions s' écrivent respectivement : et . ( I.30 ) ( I.31 ) ( I.32 ) La figure 4.2 représente les différents plans de transformation utilisés pour la résolution du problème . Le plan de calcul ( ? ) correspond ici au disque unité . Le passage du plan auxiliaire au plan du potentiel ( f ) se fait de manière classique , par la transformation de Schwarz-Christoffel . Elle s' exprime ici : . ( I.33 ) Cette relation a été obtenue en étudiant , en particulier , les variations du potentiel aux points B et F dans les deux plans , ce qui donne la relation supplémentaire : . ( I.34 ) La transformation conforme homographique faisant passer du plan de calcul ( ? ) au plan ( Z ) est définie par la correspondance dans les deux plans de trois couples de points . Le choix s' est porté ici sur les points B , D et F. On a donc , par définition : , ( I.35 ) ce qui peut s' écrire avec ( IV.4 )  : . ( I.36 ) En écrivant la relation ( IV.6 ) pour le point A de coordonnées dans ( Z ) et dans ( ? ) , nous obtenons une relation très simple reliant l' argument du point dans le plan de calcul et les hauteurs de fluide en sortie de canalisation : . ( I.37 ) Il est également possible d' écrire ( IV.7 ) pour les points C et E. Si leur position sur le cercle unité est supposée connue , les deux relations permettent de déterminer les valeurs des grandeurs et : et . ( I.38 ) Il est alors possible , en regroupant les équations ( IV.4 ) et ( IV.7 ) , de déterminer l' expression de la fonction , et par suite celle de l' élément df pour un point quelconque ? du domaine de l' écoulement dans le plan de calcul  : , ( I.39 ) ou pour un point du cercle unité représentant les frontières  : ( I.40 ) Comme précisé lors de la présentation générale de la méthode , l' étude ne se fait pas en déterminant directement la vitesse complexe w , mais en utilisant une fonction qui lui est associée . Ici , il s' agit de la fonction ? de Levi-Civita  : avec . La référence des vitesses et des pressions est prise à l' infini amont au point A . L' écoulement présente une singularité de la vitesse au point d' arrêt D . Elle se traite en séparant une fonction continue d' une fonction singularité , présentant la même variation que la fonction globale ( ) . Dans notre cas d' écoulement , la singularité au point d' arrêt se traduit par un saut de ? de la fonction de Villat et une valeur nulle de la vitesse ( ) . Les différentes notations utilisées sont présentées dans le chapitre II ( § II . 3.2 ) et inventoriées dans la nomenclature du début de ce mémoire . Nous avons alors , pour la partie réelle de la fonction de Levi-Civita , la relation : ( I.41 ) Il nous faut à présent trouver une fonction dont la partie réelle augmente de ? au passage du point , et dont la partie imaginaire en ce point tende vers - ? . La fonction vérifie ces conditions . Nous pouvons donc écrire et ( I.42 ) et par conséquent et . ( I.43 ) D' après la définition de la vitesse à la sortie de la canalisation , la valeur de sur les lignes de courant est donnée par la relation ( I.44 ) avec connue . I.12.2 . Résolution numérique Les inconnues du problème sont donc les fonctions , et , les hauteurs et , la vitesse et la pression du fluide à la sortie de la canalisation , ainsi que la position des points A , C et E sur le cercle unité du plan de calcul ( ? ) . La résolution de ce problème se fait en créant un système itératif relaxé . Les fichiers de départ correspondent aux coordonnées des différentes parois solides dans le repère cartésien défini sur la figure 4.1 . Ils permettent de déterminer la correspondance entre l' angle de la tangente et l' abscisse curviligne sur une paroi solide ( sur la paroi mouillée de l' obstacle , de longueur totale , et sur les deux parois de la canalisation ) . Il est alors possible de déterminer les hauteurs et aux infinis amont et aval de la canalisation . La vitesse et la pression sont des données du problème . La valeur de la vitesse à l' infini aval de la canalisation est initialisée à . Les premières valeurs des angles , et sont choisies par l' utilisateur . De manière générale , l' angle est initialisé à 270 ° , et les angles et de telle sorte qu' ils donnent rapidement un bon ordre de grandeur lors du calcul de la longueur de l' obstacle . Les valeurs de ces deux angles peuvent être obtenues par un calcul préalable sur quelques itérations , réalisé à partir de valeurs quelconques , ce qui donne l' ordre de grandeur à prendre pour l' initialisation du problème . Si la configuration de l' écoulement est symétrique , ils sont pris tels que . L' initialisation de la répartition des points sur le cercle unité et les frontières réelles de l' écoulement ( et par conséquent la bijection ) peut provenir soit de ce calcul préalable , soit de l' utilisateur . Une discrétisation quelconque peut convenir sur l' obstacle alors qu' une répartition géométrique sur la canalisation est nécessaire afin de suivre correctement la géométrie et d' atteindre l' infini . Il est alors possible de déterminer les valeurs initiales des fonctions et par la relation ( IV.14 ) et démarrer le processus itératif . Nous avons à résoudre un problème mixte à quatre zones . En effet , le cercle unité , représentant les frontières de l' écoulement dans le plan de calcul , est composé de quatre zones sur lesquelles les parties réelle et imaginaire de ? sont successivement connues . Sa résolution se fait grâce à la procédure présentée et testée dans le chapitre précédent . Elle est utilisée sous la forme d' une « boîte noire » , le nombre de points de calcul et les caractéristiques de la discrétisation fine sont indépendants du système global . Dans notre cas , un pas moyen de 0 , 1 ° a été rendu nécessaire afin d' obtenir de bons résultats . La discrétisation fine est réalisée sur dix à soixante segments en fonction de la taille minimale des zones sur le cercle . Le temps de calcul pour une itération sur PC avec micro-processeur 300 MHz est alors de l' ordre de la minute . Nous connaissons alors la fonction sur l' ensemble du domaine . La résolution du problème mixte permet de déterminer la fonction sur les parois de la canalisation ( ) . Par définition , au point A , nous avons la relation . En traçant l' évolution de la fonction sur l' intervalle , nous avons remarqué qu' elle s' annulait pour différentes valeurs de l' angle ? . Nous avons donc pris , dans ce cas , l' extremum de la fonction comme angle , comme l' a fait précédemment Toison ( 1998 ) dans le cas des parois virtuelles . La discrétisation sur le cercle est alors modifiée en gardant le même nombre de points de part et d' autre de A , mais en resserrant ou dilatant le pas entre deux points consécutifs sur l' arc de cercle FAB . C' est ce que nous appellerons « faire un éventail » ( figure 4.3 ) . Les valeurs des fonctions et sont inchangées . L' étape suivante du processus itératif consiste à déterminer parallèlement les valeurs des angles et . Nous avons tout d' abord , par intégration sur l' arc CD de l' élément ( défini grâce à ( IV.10 ) ) , une détermination de la longueur de l' obstacle : . ( I.45 ) Le calcul se fait avec la nouvelle valeur de . Si les valeurs de et sont quelconques , le calcul de l' intégrale précédente ne donnera pas la bonne valeur pour la longueur totale de l' obstacle . Il faut donc modifier la position des points C et E pour atteindre la bonne valeur de la longueur . S' il est aisé de remarquer que la longueur augmente si l' arc de cercle augmente , une seconde relation est nécessaire pour définir quelle doit être l' évolution relative des deux angles . Pour les configurations symétriques , il est possible d' imposer que C et E doivent être symétriques par rapport à l' axe des ordonnées , nous n' utilisons alors que la relation sur la longueur . Pour les configurations dissymétriques , les angles et sont modifiés pour faire évoluer le calcul de l' intégrale dans le sens voulu de telle sorte que la condition d' existence ( chapitre III ) diminue en valeur absolue . Une boucle itérative consistant à appliquer un « éventail » sur l' ensemble de l' arc BCDEF est réalisée jusqu'à ce que l' équation ( IV.16 ) soit vérifiée . La tolérance sur ce calcul est très faible ( jusqu'à 10 - 6 environ ) . Nous avons également la relation ( IV.8 ) qui lie l' angle et les hauteurs de fluide en sortie de canalisation . Ces hauteurs peuvent être obtenues en traçant les lignes de jets LCB et LEF . On a pour le point F , la relation , ( I.46 ) qui permet de déterminer . Une augmentation de l' intervalle implique une augmentation de la valeur calculée pour , et de manière identique , une diminution de l' intervalle implique une baisse de la valeur calculée pour . Il faut noter que , bien que l' on change les valeurs de ces deux hauteurs lors de l' éventail sur les points C et E , le rapport ne bouge que très peu . L' équation ( IV.8 ) ne sert donc pas à la convergence du système global . De nouvelles valeurs pour les angles , et ont donc été calculées . Afin de pouvoir effectuer une nouvelle boucle du système global , il faut à présent déterminer la nouvelle correspondance ? entre les frontières réelles et leur représentation dans le plan ( ? ) . La nouvelle répartition ? sur la paroi mouillée de l' obstacle ne pose pas de problème . Elle s' obtient par intégration de ds ( relation ( IV.16 ) ) entre le point ( connu ) et un point ? ( ) . Le calcul sur les parois de la canalisation est plus délicat . En effet , du fait de la longueur infinie , il est nécessaire de déterminer la position de deux points de référence ( I et J sur la figure 4.1 ) . Prenons le cas du point J qui est défini par sa position dans le plan ( f ) : . Une étude par dichotomie sur pour rechercher le point tel que , est réalisée grâce aux relations ( IV.4 ) , ( IV.7 ) et ( IV.9 ) . La position physique du point sur la paroi est donc connue en interpolant la valeur dans la correspondance précédente . La reconstruction de l' ensemble de la nouvelle répartition est alors possible sur la paroi de la canalisation . Afin d' assurer une meilleure convergence du système , et pour ne pas faire varier trop brutalement les répartitions , nous effectuons une relaxation sur la bijection ? : . Pour cette application , le coefficient de relaxation r est choisi proche de 0 , 9 . Une nouvelle valeur de la vitesse en sortie de canalisation est définie par la relation ( IV.3 ) . Elle permet de définir de nouvelles valeurs pour et par les équations ( IV.14 ) et ( IV.15 ) . Le système peut alors être réitéré . La convergence est atteinte lorsque les différentes grandeurs , et sont stables d' une itération sur l' autre . La figure 4.4 représente un organigramme récapitulatif de la méthode de résolution du système itératif relaxé correspondant à l' étude du sillage épais de type Helmholtz émis par un obstacle quelconque placé dans une canalisation quelconque . Lorsque la convergence est atteinte , le tracé des lignes de courant LCB et LEF est possible par intégration de dz respectivement sur et . Nous pouvons ainsi calculer les grandeurs en sortie de canalisation comme , ( IV.2 ) et H ( IV.3 ) . Il est également possible de calculer les efforts de pression s' exerçant sur l' obstacle par intégration des coefficients de pression ( I.47 ) avec et . I.12.3 . Configurations symétriques  : résultats publiés dans la littérature Comme nous l' avons précisé lors de l' introduction à ce chapitre , les écoulements autour d' obstacles placés dans une canalisation ont fait l' objet d' études antérieures . Des résultats sont présentés dans les ouvrages de Birkhoff et Zarantonello ( 1957 ) et Gurevich ( 1966 ) pour un arc de cercle , une plaque plane ou un dièdre placés au centre d' une canalisation à section constante . Nous allons les comparer avec ceux obtenus avec notre méthode dans chacun des cas . Cylindre circulaire Reprenons brièvement les travaux présentés par Birkhoff et Zarantonello ( 1957 ) et Gurevich ( 1966 ) , ce dernier exposant des résultats de Berman effectués en 1949 , dans le cas d' un arc de cercle placé entre des parois rectilignes ( figure 4.5 ) . Il est effectivement possible de parler d' arc de cercle puisque seule la partie mouillée de l' obstacle ( délimitée par les deux points de décollement ) nous intéresse pour la résolution numérique du problème . Comme nous l' avons déjà précisé , dans ce type d' étude , la position des points de décollement sur l' obstacle doit être une donnée pour pouvoir résoudre le problème . Que se soit Birkhoff et Zarantonello ou Gurevich , la valeur de l' angle ? est donnée . Il faut noter que dans tous les cas , cette valeur est très faible ( figure 4.6 ) par rapport à des valeurs réelles , qui sont plutôt autour de 85 °. Nous reviendrons un peu plus tard sur cette remarque . Les auteurs expriment le coefficient de traînée adimensionné Cx en fonction de la vitesse en sortie de canalisation par la relation simple : ( I.48 ) avec d le diamètre du cylindre circulaire . Dans cette définition , la traînée est adimensionnée par rapport au terme . Un second nombre adimensionné est défini . Il s' agit du coefficient de cavitation , noté q , et défini par : . ( I.49 ) La figure 4.7 représente les différents résultats publiés par Birkhoff et Zarantonello et Gurevich et ceux obtenus par notre méthode itérative . A chaque point présenté par Birkhoff et Zarantonello ou Gurevich , il correspond un point de calcul par la méthode itérative . Nous pouvons remarquer que les résultats diffèrent entre les différentes méthodes pour des coefficients de cavitation importants , c' est-à-dire pour des faibles hauteurs de canalisation . Dans tous les cas , à la convergence du système , la condition d' existence est inférieure à 10 - 6 en valeur absolue . Lorsque la hauteur de la canalisation est faible , les zones de transformation sur le cercle unité correspondant aux lignes de courant sont faibles ( inférieures à 10 ° pour , et ) . Lorsque la hauteur est importante ( on se rapproche alors du cas de l' écoulement infini autour d' un obstacle et de l' étude des sillages de Helmholtz ) , c' est la zone représentant l' obstacle qui devient faible . La valeur limite de la hauteur que nous ayons pu atteindre , avec , est . La figure 4.8 représente la géométrie des lignes de courant calculée par notre méthode itérative pour , 4 , 522 , 7 , 076 et 14 , 026 avec respectivement , 59 , 596 ° , 57 , 610 ° et 56 , 159 °. Nous avons remarqué que la méthode itérative ne donne pas de résultats rigoureusement symétriques en dépit de la configuration symétrique de l' écoulement . Cette dissymétrie apparaît lors de la résolution du problème mixte , ce que nous n' avons pas pu expliquer jusqu'à présent . Quoiqu' il en soit , le système converge et les valeurs sont très stables . Une erreur relative maximale de 0 , 5 % sur la valeur de est constatée ( pour un écoulement symétrique , ) . L' erreur relative maximale commise sur le quotient par rapport aux résultats publiés est de 4 % dans le cas d' un faible rapport ( égal à deux ou trois ) , mais elle est inférieure à 0 , 5   % dans le reste des cas . Donc , même si les résultats sont légèrement dissymétriques , les erreurs commises au niveau des valeurs à la convergence sont faibles . On peut donc dire que la méthode donne des résultats corrects pour un arc de cercle . La convergence de l' ensemble du système ( précision de 10 - 7 sur la longueur calculée de l' obstacle ) est atteinte pour une centaine d' itérations ( avec 3601 points sur le cercle ) . Ceci peut prendre , suivant la finesse de la discrétisation pour la résolution du problème mixte , environ deux heures de calcul sur un PC avec micro-processeur PENTIUM 300 MHz . L' écoulement autour d' un cylindre circulaire a fait l' objet de plusieurs études avec différentes méthodes . Sur la figure 4.7 ont été représentés les résultats obtenus par Birkhoff et Zarantonello , par leur méthode de troncature , et ceux de Berman repris par Gurevich . Dans ce dernier cas , la méthode de résolution porte sur la résolution d' une équation vérifiée par le rayon de courbure . La transformation conforme se fait sur le demi-plan infini supérieur ( Z ) . La fonction , sur le segment représentant la paroi mouillée de l' obstacle , est définie sous la forme d' une série : . La figure 4.9 reprend les résultats de la figure 4.7 concernant la fonction Cx ( q ) . Les courbes repérées « Helmholtz entre parois ( 1ère et 2nde approximation ) » représentent les résultats repris par Gurevich , respectivement pour une troncature de la série au second et troisième ordre ( et ) . Nous pouvons remarquer que les résultats des deux calculs sont différents et que notre méthode itérative se rapproche plus des résultats de la seconde approximation ( qui devraient être plus proche de la solution exacte puisqu' elle prend en compte plus de termes ) . Les résultats de Birkhoff et Zarantonello sont proches de ceux obtenus par cette seconde approximation . Sur cette figure sont également représentés les résultats de calculs réalisés par Efros pour le modèle à jet réentrant ( voir chapitre précédent ) , le cylindre n' étant alors pas placé entre deux parois . Nous pouvons remarquer que la différence entre les courbes est faible . Ceci implique que le coefficient de traînée d' un cylindre ne dépend de la distance entre les parois de la canalisation que dans la mesure où elle influence la valeur du coefficient de cavitation . En d' autres termes , le coefficient de traînée adimensionné Cx est identique pour des hauteurs finie et infinie de la canalisation , si les coefficients de cavitation sont les mêmes . Cette remarque a également été vérifiée dans le cas d' une plaque plane placée perpendiculairement à l' écoulement . Nous reviendrons plus tard sur ce cas d' écoulement , mais regardons tout d' abord les résultats expérimentaux obtenus pour différents cylindres circulaires . Afin d' étudier l' influence des parois de la canalisation sur les efforts de traînée et la géométrie des lignes de sillage émises , nous avons réalisé une campagne d' essai dans une soufflerie de type Eiffel ( voir chapitre I ) . La hauteur de la veine est de 300 mm , et les diamètres des cylindres placés dans l' écoulement sont de 50 , 80 et 120 mm . Différentes vitesses à l' infini amont ont été prises en compte afin de déplacer les points de décollement sur le cylindre ( décollements laminaire et turbulent ) . Le nombre de Reynolds est défini dans ce cas par la relation : , où le coefficient de viscosité cinématique de l' air ( ) . Une prise de pression sur le cylindre est placée dans le sillage à l' arrière de l' obstacle et a permis le relevé de la pression de poche . La visualisation de l' écoulement s' est faite par PIV . Nous pouvons remarquer sur les champs de vitesse présentés figure 4.10 grâce au logiciel MATLAB , que dans le cas d' un décollement laminaire , les points de décollement se situent environ vers 85 ° , alors que dans la littérature , les auteurs prenaient des décollements autour de 55 - 65 ° ( figure 4.6 ) . Ces valeurs proviennent de la première condition de Brillouin ( voir Jacob ( 1959 ) ) qui étudia , en 1911 , la validité physique des solutions du modèle des sillages de Helmholtz dans le cas d' écoulements symétriques . Si la fonction représentant la vitesse est la fonction ? de Levi-Civita , cette condition s' écrit dans D , D étant le domaine de l' écoulement dans le plan ( ? ) . Cette relation implique que la vitesse dans l' écoulement ne peut pas être supérieure à la vitesse à l' infini amont . La fonction étant harmonique et régulière sur le domaine , son maximum ne peut être atteint que sur sa frontière , et dans ce cas , que sur le demi-cercle unité supérieur . La condition de Brillouin permet alors aux différents auteurs de l' époque de déterminer la « position » des points de décollement . Pour le modèle des sillages de Helmholtz en écoulement infini et avec un obstacle circulaire , les points de décollement sont alors positionnés à 55 ° de part et d' autre du point d' arrêt , ce qui donne un coefficient de traînée adimensionné de . Mais il est évident que cette relation ne peut représenter la réalité , le contournement de l' obstacle entraînant une accélération de la vitesse . Les champs de vitesse PIV ont été obtenus par simple moyenne sur une centaine de couples d' images , avec un post-traitement succinct ( filtre passe-bande sur la valeur des composantes de la vitesse ) . Un traitement plus poussé permettrait d' homogénéiser le champ sous le cylindre , particulièrement pour celui de diamètre 120 mm . Les résultats , dans ce cas , de qualité moyenne peuvent s' expliquer par la présence de la fente dans la tôle inférieure de la veine faisant passer la nappe laser . Une plaque en verre a été placée sous la veine afin de la fermer pour éviter l' aspiration d' air ( la veine fonctionne en dépression ) , mais la différence de niveau de quelque millimètres au niveau de ce trou doit tout de même perturber l' écoulement localement . Les particules de fumée ne se déplaceraient alors plus dans le plan laser , ce qui pourrait expliquer la « mauvaise » qualité des résultats concernant les champs instantanés , et par conséquent le champ moyen . La zone d' interrogation est dans tous les cas de 32 x 32 pixels , ce qui revient respectivement à des zones de 3 x 3 mm et 1 x 1 mm pour les deux résultats présentés figure 4.10 . Le taux de recouvrement est de 50 % . Les résultats numériques obtenus par notre méthode itérative sont également représentés , et montrent une bonne correspondance au niveau du tracé des lignes de sillage . La figure 4.11 représente l' ensemble de l' écoulement , avec les parois de la veine , ainsi qu' un agrandissement autour de la zone de décollement dans le cas du cylindre de 80 mm de diamètre et pour un nombre de Reynolds élevé ( 400 000 ) . La méthode de résolution , bien que les zones de transformation des lignes de courant sur le cercle soient très faibles , donne des résultats convenables . La figure 4.12 représente les différentes pressions de poche obtenues par relevé expérimental et celles calculées par la méthode numérique . Les valeurs expérimentales sont déterminées à partir d' une différence de pression : , ( I.50 ) avec P la pression dans la poche et ? la masse volumique de l' air ( à 20 °C et 760   mmHg ) . Nous pouvons remarquer que les résultats sont assez proches , vu la simplicité du modèle des sillages de Helmholtz qui ne représente correctement le sillage ( fluide mort ) qu' au voisinage de l' obstacle . En effet , dans la réalité , le sillage ne s' étend pas à l' infini et présente des zones de recirculation visibles sur les champs de vitesse PIV . Avec notre montage expérimental , nous pouvons difficilement déterminer l' expression de la vitesse à l' infini aval . La figure 4.13 représente quelques profils de vitesse derrière le cylindre . Ils correspondent à chaque fois à une section où la vitesse maximale est atteinte . Nous pouvons remarquer que le saut de vitesse caractérisant la couche de séparation entre l' écoulement et la poche du sillage est nettement visible , mais nous ne pouvons pas en conclure que la valeur de la vitesse maximale corresponde à la vitesse . Une solution serait d' estimer le coefficient de traînée Cx par une pesée ou par un relevé des pressions , afin d' en déduire par l' expression ( IV.19 ) . Finalement , nous pouvons dire que , dans le cas d' un obstacle bidimensionnel circulaire placé dans une canalisation , notre méthode itérative donne de bons résultats par comparaison avec d' autres résultats numériques , et ils sont relativement bons par rapport à l' expérience . Etudions à présent , mais plus rapidement , les autres cas plus simples de validation de la méthode . Plaque plane Des résultats sur les écoulements autour d' une plaque plane placée perpendiculairement à l' écoulement dans une canalisation plate ont été publiés par Gurevich ( 1966 ) . La figure 4.14 définit les différentes notations servant à exprimer Cx : . ( I.51 ) La relation ( IV.20 ) définissant le coefficient de cavitation q est toujours valable . Les résultats comparatifs sont présentés sur la figure 4.15 et montrent une bonne correspondance entre les deux méthodes . D' après ces résultats , nous remarquons que la hauteur de la canalisation , par rapport à la longueur de la plaque , a une grande influence sur le coefficient Cx . Dièdre Dans le cas d' un dièdre d' angle intérieur ( figure 4.16 ) , Gurevich ( 1966 ) publie également des résultats obtenus , pour quelques valeurs de ? , par différents auteurs et différentes méthodes . Le problème de cet écoulement , pour ? quelconque , peut être résolu facilement en se limitant , en raison de la symétrie , à la moitié du domaine et en considérant la ligne d' arrêt comme une paroi rigide , par la transformation de Schwarz-Christoffel . Dans le cas d' un dièdre formant une angle droit , des résultats correspondant à l' écoulement dans une canalisation plate sont présentés . Il établit alors la relation ( I.52 ) pour définir le coefficient adimensionné de traînée . Les valeurs de en fonction de pour sont fournies ( Gurevich ( 1966 ) , p.   48 ) . La longueur totale de l' obstacle est . Les résultats obtenus par Gurevich et ceux provenant de notre méthode itérative sont présentés figure 4.17 . Les résultats du calcul de Cx ( q ) par la méthode itérative sont également représentés sur la figure 4.18 , avec les valeurs correspondantes pour d' autres modèles d' écoulements pour des angles intérieurs de 60 , 90 , 120 et 180 degrés . Il s' agit des modèles des jets réentrants de Efros pour le premiers cas , et celui de Joukowski ( parois virtuelles ) pour les trois derniers . Avec l' ensemble des résultats présentés jusqu'à présent , qui représentent tous des cas traités dans la littérature , nous avons pu vérifier la validité de notre code de calcul pour des configurations symétriques . Mais notre méthode est faite pour résoudre des écoulements quelconques et se sont des résultats plus généraux que nous allons présenter maintenant . I.12.4 . Nouvelles configurations d' écoulement Parmi les configurations non traitées dans la littérature , il y a les écoulements symétriques lorsque les parois de la canalisation ne sont pas rectilignes et les écoulements dissymétriques . Il existe différentes manières de rendre dissymétrique l' écoulement : canalisation ou obstacle dissymétriques , obstacle symétrique décalé par rapport à l' axe de la veine . Comme il n' existe pas de résultats correspondants dans la littérature , nous avons validé , dans certains cas , ceux obtenus par notre méthode numérique par une confrontation avec des résultats expérimentaux . Le montage utilisé pour les essais de PIV , et qui est celui présenté dans ce chapitre , était difficilement adaptable à des parois non planes de la canalisation . Nous ne présenterons donc pas de résultats expérimentaux dans ce cas . Obstacle dissymétrique Un obstacle dissymétrique a été placé dans une canalisation plate afin d' étudier les résultats expérimentaux et numériques obtenus par notre méthode itérative . Il s' agit d' un profil NACA0015 mis en incidence . Les expériences ont été réalisées dans la soufflerie de type Eiffel de veine carrée de 900 mm& 194;& 178; ( figure 4.19 ) . L' incidence du profil a été choisie égale à afin d' avoir un écoulement décollé à l' extrados . La visualisation par PIV de la zone de l' écoulement a été réalisée en deux parties ( autour du bord d' attaque et au delà du bord de fuite ) en décalant la caméra . Le nombre de Reynolds est déterminé par la relation : avec c la corde du profil ( ) . Pour la validation expérimentale par PIV , le nombre de Reynolds a été fixé à 210 000 . La zone visualisée est de 95 x 95 mm . Pour un taux de recouvrement de 50 % , la zone d' interrogation de 32 x 32 pixels est alors d' environ 1 , 5 x 1 , 5 mm . En raison de la vitesse moyenne de l' écoulement , le pas de temps ? t entre deux pulses laser a été fixé à 5   µs . Le post-traitement des données consiste à moyenner quatre-vingt couples d' images auxquelles un filtre passe-bande sur la valeur des composantes de la vitesse a été appliqué . La figure 4.20 représente les résultats expérimentaux et numériques . On peut noter la bonne concordance au niveau de la géométrie des lignes de sillage . Le profil était également muni de prises de pression reliées à un manomètre à colonnes d' eau . Nous avons donc pu relever les pressions sur toute la surface de l' obstacle . La relation ( IV.21 ) permet de définir les coefficients adimensionnés de pression sur le profil et la relation permet de les définir numériquement lorsque la convergence du système itératif est atteinte . Les résultats correspondants sont représentés sur la figure 4.21 pour un nombre de Reynolds de 210 000 pour le profil entre parois , pour le modèle de Helmholtz et les relevés expérimentaux . Nous pouvons remarquer l' influence importante des parois au niveau de la pression dans la poche de fluide mort et , par conséquent , au niveau des efforts globaux . Obstacle symétrique décalé par rapport à l' axe de la canalisation La seconde configuration d' écoulement dissymétrique étudiée expérimentalement par PIV est celle d' un obstacle symétrique ( cylindre circulaire ) décalé par rapport à l' axe de la canalisation . Nous avons choisi d' utiliser le cylindre de diamètre 80 mm . Afin de bien visualiser la géométrie des lignes de sillage , et parce que la nappe laser provient du bas de la veine , la visualisation de l' écoulement s' est faite en deux étapes : on ne visualise que le sillage émis par la partie inférieure du cylindre qui est décalé de manière positive puis négative par rapport à l' axe de symétrie de la veine ( figure 4.22 ) . La valeur absolue du décalage en hauteur est prise égale à 30 mm . Dans ce cas , la zone visualisée est de 120 x 120 mm , et toujours pour un taux de recouvrement de 50 % , les zones d' interrogation de 32 x 32 pixels correspondent à des tailles de 2 x 2 mm . Le post-traitement est le même que dans tous les cas précédents . Les résultats correspondants à la position inférieure du cylindre sont présentés sur la figure 4.23 . Le champ de vitesse inférieur est apparemment à nouveau perturbé par la présence de la fente dans la veine . A nouveau , nous pouvons remarquer une bonne correspondance entre les résultats numériques et expérimentaux . La position des points de décollement est déterminée grâce aux résultats expérimentaux ( environ 80 ° à l' extrados et 85 ° à l' intrados ) . Le nombre de Reynolds est pris égal à 112 000 ( décollement laminaire ) . Canalisation à parois courbes Nous n' avons pas pu réaliser d' essais en soufflerie avec la PIV concernant les écoulements autour d' un obstacle avec des parois courbes , symétriques ou non . Seuls les résultats numériques sont présentés pour montrer les possibilités de la méthode sur des cas plus complexes , mais les résultats expérimentaux précédents laissent penser que la validation expérimentale ne poserait pas de problèmes . La figure 4.24 représente les résultats obtenus dans le cas d' un arc d' ellipse pour placé dans une canalisation symétrique dont la géométrie des parois est donnée par la relation ( pour les parois du haut et du bas )  : Sur le même tracé est représenté l' écoulement lorsque l' obstacle est déplacé dans l' axe du vent avec la même canalisation . L' ellipse est ensuite dissymétrisée en enlevant des points à l' une des extrémités ( sont supprimés ) . Enfin , nous présentons un cas de calcul plus général encore : l' obstacle dissymétrique est placé dans une canalisation dissymétrique elle aussi . Dans ce dernier cas , la géométrie de la paroi inférieure est inchangée et l' équation de la paroi supérieure est : Notons que nous n' avons donné les équations des parois et des obstacles que pour pouvoir créer aisément des fichiers de départ . Ces équations n' interviennent en aucun cas lors de la résolution du système itératif , comme c' est le cas pour d' autres méthodes de résolution . I.12.5 . Conclusion D' après l' ensemble de ces résultats , nous pouvons supposer que la numérisation de l' écoulement autour d' un obstacle placé dans une canalisation en utilisant le modèle des sillages de Helmholtz est correcte . Le temps de calcul ( environ deux heures ) est relativement long pour nous par rapport aux différentes applications réalisées jusqu'à présent et les calculs sont délicats . Deux validations ont été réalisées : tout d' abord celle de la numérisation par les résultats publiés dans la littérature , puis celle de la modélisation du sillage grâce aux résultats expérimentaux . Ces derniers sont notamment nécessaires pour déterminer la position des points de décollement sur l' obstacle . Nous avons remarqué que les seuls résultats présentés dans la littérature pour ce type de configuration , n' étaient pas fait avec des valeurs réalistes pour les angles de décollement ( condition de Brillouin ) . La seule manière de les déterminer serait de coupler notre méthode numérique avec une procédure de calcul de couche limite , ce qui a déjà été réalisé pour un cylindre dans un écoulement infini ( Legallais et Hureau ( 1994 ) ) . I.13 . Etude de voiles souples L' étude que nous allons présenter maintenant concerne les voiles souples . Le terme de voile souple définit un obstacle fixé entre deux points , de position déterminée , et dont la forme est sujette à se modifier sous l' action du vent . La voile atteint alors une position stable d' équilibre . Dans notre étude , elle est supposée inélastique ( sa longueur totale est donc connue et fixe ) et non poreuse ( elle peut donc être comparée à un obstacle rigide ) . Afin de retracer au mieux la réalité , le point d' attache amont de la voile est un mât , le point aval étant considéré comme ponctuel . La présence du mât est prise en compte dans la méthode de résolution . De plus , nous ne nous intéresserons ici qu' aux cas d' écoulements décollés . La résolution du problème , c' est-à-dire la détermination de la géométrie de la voile à l' équilibre et des lignes de sillage , ainsi que la répartition de pression et la tension sur la voile , est faite en utilisant notre méthode numérique itérative avec le modèle des sillages épais de Helmholtz . Il n' y a , dans ce cas , pas besoin de résoudre un problème mixte mais uniquement un problème de Dirichlet sur le cercle unité . Les hypothèses générales utilisées jusqu'à présent sur l' écoulement et le fluide sont toujours valables . Il faut savoir que cette étude n' est qu' une première approche du problème des voiles souples , et comme les résultats obtenus ont été encourageants , de futurs travaux viendront la compléter . Différentes études sur les voiles souples ont déjà été menées , mais la plupart n' utilisent pas les même hypothèses que nous . C' est ce que nous allons à présent développer . I.13.1 . Rapide étude bibliographique sur les voiles Dans le cas d' ailes rigides , soit la géométrie de l' aile soit la répartition de pression sur celle  -ci ( problème direct ou inverse ) est connue ; ainsi , en utilisant différentes modélisations , il est possible de déterminer l' une de ces propriétés à partir de l' autre . Dans le cas d' une voile souple , il est clair que sa géométrie ne peut pas être une donnée du problème . Par conséquent , il faut ajouter à la théorie des profils le fait que chaque élément de la voile doit être à l' équilibre statique . En d' autres termes , les efforts de pression , liés à la courbure de la voile , doivent exactement contrebalancer la tension superficielle sur la toile . Ainsi , il faut que la voile vérifie simultanément les équations de la statique et de la dynamique . Considérons un arc élémentaire dS de la voile souple de largeur unité , supposée non poreuse , inélastique et non pesante . La courbure est notée , en ce point , ? et l' arc forme un angle d ? par rapport au centre de courbure associé ( figure 4.25 ) . La pression sur la face extérieure de la voile est notée p et la surpression sur la face intérieure ? p. Les tensions aux extrémités de l' arc élémentaire sont notées T et . La différence de pression implique la présence d' une force de pression élémentaire normale à l' arc de la voile . Son expression est de la forme . Elle doit , en raison de l' équilibre statique de la voile , être contrebalancée par la tension ( ) . De manière classique , tous les auteurs qui se sont intéressés au problème des voiles souples , ont considéré dans leurs modèles d' étude une différence de tension dT nulle sur l' élément dS. Par conséquent , la tension T est prise constante sur la voile et la relation d' équilibre donne ou encore . ( I.53 ) Dans cette expression , la porosité n' est pas prise en compte . Des voiles faiblement poreuses ont été étudiées . Dans ce cas , il existe un écoulement à travers la voile entraînant une diminution de l' incidence effective de chaque élément , et par conséquent , une diminution de la portance totale . La figure 4.26 permet de définir les principales notations utilisées dans la suite de cet exposé concernant les voiles souples . Le repère cartésien lié au domaine physique de l' écoulement , est défini par rapport à l' axe du vent à l' infini amont ( de vitesse ) et au point d' attache amont de la voile correspondant au bord de fuite du mât ( « luff point » ) . Le point d' attache aval est nommé « leech point » . Le mât , de corde , est incliné d' un angle ? par rapport à l' axe des abscisses pris comme référence pour les angles . La corde de la voile est , quant à elle , notée c et forme un angle ? avec l' horizontale . La longueur L de la voile est fixe . Il est alors possible de définir l' excès de longueur adimensionné ? l de longueur de voile par rapport à la corde  : . ( I.54 ) Les premiers travaux publiés dans la littérature concernant l' aérodynamique de voiles souples ont été ceux de Thwaites ( 1961 ) . Etant donné la longueur L de la voile , la corde c et l' incidence ? de cette dernière par rapport à l' axe du vent , il chercha à déterminer la géométrie de la voile , la portance et la tension T sur celle  -ci en considérant un écoulement attaché , à l' avant comme à l' arrière . La théorie appliquée est proche de la théorie linéarisée conventionnelle . L' équation de la voile obtenue par Thwaites , valable uniquement pour de faibles incidences ? , se met sous la forme d' une équation intégro-différentielle contenant une équation singulière , de type Cauchy . Cette équation de la voile diffère de l' équation des profils en théorie linéarisée parce qu' elle comporte un paramètre numérique , le nombre de Weber ? ( I.55 ) avec les notations de la figure 4.26 et ? la masse volumique de l' air . Suivant la valeur de ce paramètre , la forme calculée de la voile sera soit concave ( ) , soit elle présentera un , voire deux , points d' inflexion ( ) . A la même époque , Nielsen ( 1963 ) présenta des résultats analogues en utilisant , pour la résolution du problème , la théorie simplifiée des profils minces bidimensionnels établie par Stewart ( 1942 ) . Les résultats présentés par Thwaites et Nielsen sont semblables . Ces travaux ont été repris par Myall et Berger ( 1969 ) qui traitèrent , par une méthode analogue , le cas de l' écoulement attaché autour de deux voiles souples bidimensionnelles en interaction ( figure 4.27 ) . Les travaux fondateurs de Thwaites et Nielsen ont également permis à Tuck et Haselgrove ( 1972 ) d' établir de nouveaux résultats pour des applications à des grand-voiles : la voile de longueur L est fixée à un mât à l' avant et fixée à l' arrière par un filin de longueur R donnée et représenté , en bidimensionnel par une plaque . Les incidences de l' obstacle restent faibles . Vanden-Broeck et Keller ( 1981 ) étendirent ces résultats aux cas d' incidences quelconques . Les travaux de Thwaites et Nielsen ont ensuite été repris par Vanden-Broeck ( 1982 a ) ) pour des incidences quelconques . La résolution se fait par discrétisation , sur la corde , de l' équation intégro-différentielle conduisant à l' écriture d' un système non linéaire d' équations . Ce dernier est résolu par la méthode numérique de Newton ( la méthode est équivalente à la méthode de troncature présentée dans le chapitre II ) . Jackson ( 1984 ) établit une méthode adaptable facilement à toutes les hypothèses des écoulements autour de voiles ( prise en compte de la porosité et de l' élasticité de la voile , ainsi que du décollement du sillage ) . Mais tous les résultats que nous avons évoqués jusqu'à présent , y compris ceux de Jackson ne sont valables que pour des écoulements non décollés et une voile non poreuse et inélastique , et jamais l' influence de la présence du mât n' est prise en compte dans les méthodes numériques . Jackson appliqua également sa méthode au cas de l' interaction de deux voiles souples . Newman et Low ( 1984 ) présentèrent des résultats expérimentaux pour des voiles non poreuses , dont certains décrivent des écoulements décollés avec présence éventuelle de poches de fluide mort à l' avant de la voile . Une approche différente concernant les voiles constituées de deux membranes souples entourant le mât a été formulée par Murai et Maruyama ( 1980 ) , figure 4.27 . La comparaison concernant les efforts de portance et la tension sur la voile avec les résultats présentés par Nielsen ( le mât étant alors plat ) sont très proches . Les auteurs vérifièrent également leurs résultats en comparant les répartitions de pression sur chacune des membranes pour le cas d' une plaque plane et pour un profil épais cambré de type Joukowski ( ces cas donnant des solutions exactes par transformation conforme ) . De nombreux résultats expérimentaux concernant les profils à double membrane souple ont été établis par Robert et Newman ( 1979 ) . Ces auteurs étudièrent plusieurs matières de voiles ( nylons de densité différente et plus ou moins poreux ) , différents mâts ( cylindres ) et longueurs de corde . Les plages d' incidence de la voile et du nombre de Reynolds sont importantes . Les profils lenticulaires ou « inflated aerofoils » ( figure 4.27 ) ont été étudiés par Newman et Tse ( 1980 ) qui ont obtenu des solutions approchées par la théorie des profils minces à incidence nulle . Vanden-Broeck ( 1982 b ) ) résolut analytiquement le même problème pour des valeurs arbitraires de l' incidence , par une méthode de faibles perturbations du nombre de Weber ? . Les solutions sont alors fonction de l' incidence de l' obstacle , du nombre de cavitation ? , où est la pression à l' intérieur de l' obstacle et du nombre de Weber . Pour une valeur inférieure à un nombre de cavitation critique , les deux membranes de l' obstacle se collent sur la partie arrière de la voile . Newman ( 1987 ) présenta des résultats regroupant différentes configurations présentées jusqu'à présent , et traita le cas de voiles totalement décollées correspondant , dans la réalité , à des spinnakers ou des parachutes . Il proposa des résultats sur les voiles tridimensionnelles , configuration également étudiée , entre autres , par Jackson et Christie ( 1987 ) . I.13.2 . Voiles décollées & 226;& 128;& 147; procédure numérique Nous allons à présent développer l' application de notre méthode itérative relaxée à l' étude de voiles souples . Les hypothèses générales consistent à considérer l' écoulement comme étant bidimensionnel , stationnaire et irrotationnel , le fluide comme étant parfait , incompressible et non pesant et enfin , la voile comme souple , non pesante , non poreuse et inélastique . La voile est fixée à l' aval en un point , noté D , et son extrémité amont est fixée au bord de fuite C d' un mât ( ABC ) . Ce dernier est fixe et ? est son incidence par rapport à la direction du vent à l' infini . Le point A ( confondu avec le point C et le point O ) est considéré comme étant le second point d' attache de la voile . Le mât consiste en un profil épais ( symétrique ou non ) de faibles dimensions par rapport à la longueur L de la voile . Le point d' arrêt est noté B et la ligne d' arrêt LB . L' extrémité D de la voile est toujours un point de décollement et le second est noté E. Suivant les cas , ce point peut correspondre soit à un point de la voile ( cas de la figure 4.28 ) soit à un point du mât . La paroi mouillée L correspond alors à l' arc EBCD . Les lignes de sillage sont notées LD et LE . Dans cette étude , nous utiliserons le modèle des sillages de Helmholtz et utiliserons un système itératif relaxé pour résoudre le problème . Entre deux itérations de ce système , la voile est considérée comme étant rigide et de géométrie connue . La théorie des sillages de Helmholtz permet de définir les coefficients de pression sur toute la partie mouillée de la voile . Ces derniers permettent alors de définir la tension en chaque point de la voile , qui est déformée afin de vérifier l' équation de l' équilibre statique . Une nouvelle itération du système est effectuée et à la convergence , la géométrie de la voile à l' équilibre est déterminée . Sillage de Helmholtz Comme nous l' avons précisé , notre méthode de résolution est basée sur l' étude des sillages de Helmholtz . La formulation théorique de ce problème est présentée en annexe 1 , mais les différents plans de transformation utilisés sont tout de même repris sur la figure 4.29 . Le plan ( ? ) de calcul est le demi-disque unité supérieur qui est prolongé par symétrie au disque unité par la méthode de Levi-Civita ( chapitre II ) . Le problème est résolu grâce au système relaxé de la série suivant ( les notations sont les notations classiques utilisées jusqu'à présent et sont définies dans l' annexe ) à partir d' une solution initiale : ( I.56 ) La répartition de pression peut être déterminée en fonction des répartitions ? et ainsi que de l' affixe du point d' arrêt dans ( ? )  : . ( I.57 ) Tension de la voile & 226;& 128;& 147; réactions aux points d' attache Pour un élément ds de la surface mouillée ( voile ou mât ) , il est possible de déterminer la force de pression élémentaire à partir de la répartition des coefficients de pression : ( I.58 ) Cette expression correspond à la force , par unité de largeur , au milieu d' un segment , et la distance de référence est la largeur de la voile . Si le nombre total de points sur la voile est noté N , la résultante des forces de pression est donnée par : et . ( I.59 ) Comme nous l' avons précisé , la voile doit être en équilibre à chaque instant et en chaque point . L' équilibre global de la voile fait intervenir les réactions et aux points d' attache . La relation fondamentale de la dynamique nous donne : et par projection sur les axes ( notations de la figure 4.28 ) ( I.60 ) L' équation ( IV.31 ) permet de déterminer l' expression de la norme des réactions aux points D et E , et par conséquent , la valeur des différentes projections des forces . En effet , les valeurs des angles et sont données par la géométrie de la voile , fixée en début d' itération . Mise en équilibre de la voile Il faut à présent mettre la voile en équilibre en chacun de ces points ( on se place toujours au point milieu d' un segment sur la voile ) . Bien évidemment , ce calcul ne se fait que sur la voile souple et non sur le mât , mais les efforts sur celui  -ci sont pris en compte dans le calcul par les forces de pression . Soit un segment quelconque de la voile repéré par l' indice i . L' équilibre du point milieu est traduit par l' égalité des forces et s' exerçant de part et d' autre du point : et . ( I.61 ) Nous pouvons remarquer , d' après leur définition , que ces deux forces sont de même direction , même norme et de sens opposé . Lorsque la voile est en équilibre , la direction des forces résultantes au point de calcul est confondue avec la tangente à la voile . Ceci n' est pas vrai lors d' une itération quelconque du système ( la convergence n' étant pas atteinte ) . Il est alors possible de déterminer une nouvelle répartition des tangentes sur la voile afin de tendre vers l' équilibre . Pour ne pas modifier trop brusquement l' inclinaison des segments de la voile , il est pratiqué une sorte de relaxation : . A partir de cette nouvelle répartition en tangente et de la répartition en longueur , il est possible de déterminer une nouvelle forme de voile . Tant que la convergence du système n' est pas atteinte , le point à l' extrémité aval ne correspondra pas au point d' attache D ( on suppose que le point C est fixe ) . Il faut donc ajuster la forme de la voile . Ajustement de la géométrie de la voile Pour repositionner l' extrémité de la voile au point d' attache , l' ensemble des points est déplacé d' un même pas ? x et ? y , respectivement suivant et . Les pas ? x et ? y sont calculés d' après l' écart entre l' extrémité de la voile reconstruite et la position du point d' attache . Le fait de ramener les points de la voile de cette manière agit sur la longueur totale de la voile , qu' il faut ramener maintenant à la longueur initiale . Lors du réajustement de la forme de la voile , il faut essayer de ne pas trop changer la courbure de la voile . La position des points extrêmes n' est plus modifiée . Le déplacement se fait en considérant trois points consécutifs et en ne bougeant que le point central i le long de la perpendiculaire au segment formé par les deux points extrêmes et passant par i ( figure 4.31 ) . Les nouvelles coordonnées de ce point sont calculées en considérant un décalage constant pour tous les segments . Le terme ? peut être soit positif , soit négatif , suivant qu' il faut augmenter ou diminuer la longueur de la voile . Une dichotomie sur la différence entre cette longueur et la longueur L est réalisée . La précision sur ce calcul est de l' ordre de 10 - 4 . Nous avons alors définit de nouvelles valeurs pour l' ensemble des grandeurs inconnues et une nouvelle itération du système global est réalisée , et ce , jusqu'à la convergence . Celle  -ci est atteinte lorsque la différence maximale entre les tangentes à la voile et la direction des forces résultantes aux points de calcul est inférieure à une précision fixée par l' utilisateur ( de manière habituelle , le dixième , voire centième , de degré ) . La figure 4.32 représente un organigramme simplifié de l' ensemble du processus itératif relaxé utilisé . Pour les différentes tolérances au niveau des calculs , dont nous avons précisé les ordres de grandeur précédemment , la convergence est atteinte pour quelques dizaines d' itérations ce qui prend environ une minute de calcul sur un PC avec micro-processeur PENTIUM 300 MHz , si l' on considère 181 points de calcul sur le demi-cercle . Le tracé des lignes de sillage est déterminé en annexe 1 . I.13.3 . Résultats numériques et expérimentaux Nous allons à présent étudier les différents résultats numériques obtenus . Comme nous l' avons déjà dit , les résultats qui correspondent au cas de l' étude de l' écoulement autour de voiles souples avec sillage décollé , en tenant compte du mât , n' existent pas , à notre connaissance , dans la littérature . Nous avons donc validé notre méthode avec des cas s' en approchant ou par rapport à des essais en soufflerie . Mais , tout d' abord , nous présenterons des résultats numériques dans le cas de voiles symétriques ( cas des spinnakers ou des parachutes ) . Voiles symétriques . Pour l' étude de voiles symétriques totalement décollées , nous ne prendrons pas en compte la présence du mât . Il est donc réduit en un point . La figure 4.33 représente la forme de la voile calculée ainsi que des lignes de sillage pour deux valeurs de longueur de voile donnée ( et et 85 ( ) ) . Décollement sur le mât Nous allons à présent nous intéresser à des configurations d' écoulement avec décollement sur le mât de la voile . Comme il n' existe pas de résultats correspondant dans la littérature , nous avons fait une campagne d' essai afin de valider nos résultats . Les essais ont eu lieu dans la soufflerie Lucien Malavard , et le relevé des champs de vitesse s' est effectué par PIV . Les visualisations de PIV nous ont également permis de relever la forme de la voile . Ce relevé est délicat , mais en le superposant avec les champs de vitesse obtenus , les résultats sont , comme nous le verrons par la suite , convenables . Le tissu utilisé pour la réalisation de la voile était du nylon imperméable vendu dans le commerce et suffisamment léger pour être non pesant et rigide pour être inélastique . Afin de limiter au maximum une éventuelle porosité , la toile a été doublée . Le mât utilisé est un profil symétrique NACA0060 de corde 28 mm . Afin de modéliser des configurations proches de configurations de voiles réelles , la longueur de la voile a été choisie égale à 490 mm . La nappe laser a été focalisée au dessus de la toile . Elle a alors une épaisseur d' environ 1 mm sur la toile . L' angle de divergence de la nappe est d' environ 60 ° , ce qui nous a obligé d' incliner la tête laser pour balayer toute la longueur de la voile . Au cours des essais , différentes incidences ? et ? de mât et de voiles , et différentes valeurs de la corde ont été étudiées . Certaines des configurations ont également été étudiées pour différents nombres de Reynolds . Les visualisations de PIV nous permettent de définir la position approximative du point de décollement sur le mât , bien qu' ici , vu les dimensions relatives de ce dernier , le positionnement exact n' influence pas beaucoup les résultats . La figure 4.34 montre différents résultats obtenus expérimentalement et les résultats numériques correspondants ( tracés de la voile et des lignes de sillages en couleur ) . Les résultats expérimentaux de la première figure ont été obtenus en superposant deux champs de vitesse . A chaque fois , la taille de la fenêtre visualisée est d' environ 150 x 150 mm , ce qui entraîne , pour un taux de recouvrement de 50 % , des zones d' interrogation de 2 , 5 x 2 , 5 mm lorsque l' on choisit une résolution en 32 x 32 pixels . Dans les deux autres configurations présentées , la fenêtre de visualisation est plus grande ( 250 x 250 mm ) soit , pour les même caractéristiques de résolution , des zones d' interrogation de 4 x 4 mm . Le pas de temps entre deux pulses laser est dans tous les cas de 60 µs . Le post-traitement succinct consiste à moyenner une soixantaine de champs de vitesse instantanés sur lesquels un filtre sur le module de la vitesse a été appliqué . On remarque que les résultats concordent bien entre l' expérience et le modèle numérique tant au niveau de la forme de la voile que de la géométrie des lignes de sillage . Néanmoins ils sont peut être un peu moins bons pour l' inclinaison importante du mât ( ) . Il doit y avoir formation d' une poche de fluide mort à l' arrière du mât ( intrados et extrados ) . Seul un retournement de l' ensemble du montage et une nouvelle visualisation permettrait de nous le dire . La figure 4.35 montre la forme d' une voile calculée numériquement en tenant compte du mât ou non . Dans ce dernier cas , le décollement se fait au niveau du point d' attache . Nous pouvons remarquer que les formes sont nettement différentes et que celle tenant compte de la présence du mât est beaucoup plus proche du relevé expérimental , ce qui est à priori normal . Décollement sur la voile Ce dernier cas d' écoulement n' est pas du tout abordé dans la littérature : le point de décollement inférieur est situé sur la voile . Nous avons également dû effectuer des relevés expérimentaux pour valider nos calculs . Ils ont été réalisés lors de la même campagne d' essai que celle présentée pour le cas précédent , et il s' agit donc de la même voile . La visualisation globale de l' écoulement doit se faire en plusieurs étapes . Il est plus délicat d' obtenir une configuration sur laquelle le sillage décolle sur la voile plutôt que sur le mât , parce qu' il y a très souvent création d' une poche de fluide mort soit dans le creux de la voile , soit à l' intrados juste après le mât . La figure 4.36 représente les résultats numériques et expérimentaux pour une configuration où le décollement a lieu de manière visible sur la voile . La détermination du champ de vitesse est réalisée par trois vues successives le long de la corde de 180 x 180 mm chacune , soit des zones d' interrogation de 3 x 3 mm . Le pas de temps ? t est pris égal à 20   µs . La ligne de sillage calculée à l' intrados tenant bien à se refermer au voisinage de la voile ( elle s' en éloigne de nouveau en se déplaçant vers l' aval de l' écoulement . I.13.4 . Perspectives & 226;& 128;& 147; conclusion Cette première approche du problème de voiles souples , avec sillage décollé et présence d' un mât , a donc fourni des résultats encourageants . Le manque de résultats dans la littérature correspondant à ce problème a nécessité la réalisation de campagnes d' essais afin de valider nos résultats numériques . De plus , il était souhaitable de vérifier la bonne représentation de l' écoulement physique . En effet , s' il existe quelques références bibliographiques ( Newman et Low ( 1981 ) ) sur les écoulements autour de parachutes ou de spinnakers ( cas des voiles symétriques ) , la comparaison des résultats n' est pas probante parce que la modélisation du sillage par le modèle de Helmholtz ne donne pas de bons résultats au niveau des efforts globaux . La méthode de résolution est efficace , mais ne donne de bons résultats que si la forme initiale de la voile n' est pas trop éloignée de la forme finale . La présence de zones de fluide mort sur la voile n' est pas prise en compte dans la méthode . Cette étude devrait être prolongée à l' étude de voiles souples avec sillage décollé ou non ( dans le dernier cas de nombreux résultats existent , si le mât est négligé , et pour une tension constante sur la voile ) et avec essai de prise en compte d' éventuelles poches de fluide mort , ainsi qu' à l' interaction de deux voiles . Un couplage avec un code de calcul de couche limite , dans le cas des sillages décollés , permettra de positionner numériquement la position exacte des points de décollement sur la voile ou le mât . V. Interaction de deux jets Les jets de fluide sont présents dans de nombreuses configurations qui peuvent être regroupées en deux grandes catégories : les jets issus de buse et les jets libres avec présence ou non d' obstacles dans l' écoulement . Nous ne considérerons ici que les jets appartenant à cette seconde catégorie , dans laquelle se trouve , en particulier , l' impact de deux jets libres de fluide parfait incompressible . Soient deux jets et de même vitesse à l' infini et les deux jets et résultant de l' impact ( figure 5.1 ) . Les lignes de jet délimitant l' écoulement sont des lignes de courant à pression , et donc à vitesse constante . Notons respectivement , , et les largeurs des différents jets à l' infini aux points A , B , C et D et , , et leur direction par rapport à une direction privilégiée . Le repère des coordonnées définissant le plan physique est choisi de telle sorte que l' axe corresponde à la direction du jet . Nous avons alors . Le centre O de ce repère est un point quelconque de cet axe . Le problème est alors déterminé par la donnée des caractéristiques des deux jets incidents : leur largeur et direction , , et ainsi qu' éventuellement , leur position relative dans le cas de deux jets de même direction . Ce problème a été étudié par de nombreux auteurs comme Birkhoff et Zarantonello ( 1957 ) , Gurevich ( 1966 ) , Milne-Thomson ( 1968 ) et plus récemment Keller ( 1990 ) . Dans leurs différentes études , une même méthode a permis d' établir des relations analytiques pour des configurations particulières d' impact de jets . C' est cette méthode que nous allons tout d' abord étudier avant de proposer une nouvelle approche du problème ( Hureau et Weber ( 1998 ) ) . I.14 . Méthodes de résolution I.14.1 . Résolution par le théorème des quantités de mouvement Considérons l' écoulement de la figure 5.1 pour lequel l' axe des abscisses est choisi dans la direction du jet . Un tel écoulement doit vérifier deux propriétés classiques : la conservation de la masse et le théorème des quantités de mouvement . En projetant ce dernier suivant les deux axes et , nous obtenons alors trois équations décrivant l' écoulement : ( I.62 ) ( I.63 ) ( I.64 ) ( I.65 ) Les quatre inconnues de ce système à trois équations sont les grandeurs , , et . Pour des configurations d' impact particulières ( symétrie ) , une condition supplémentaire reliant les grandeurs de sortie permet de lever l' indétermination de ce système . Birkhoff et Zarantonello , Gurevich et Milne-Thomson ont alors explicité des solutions analytiques pour ces configurations . Dans le cas où aucune symétrie n' existe , comme l' impact avec incidence de deux jets de largeur différente , le problème ainsi défini semble donc donner une infinité de solutions . Malgré tout , il est réaliste de considérer que l' impact physique de tels jets ne donne qu' une seule solution . Il faut donc formuler le problème différemment afin de lever cette indétermination . Etudions tout d' abord pour cela les familles de résultats obtenues par le système ( V.1 ) à ( V.3 ) . Une largeur , ou la direction d' un des jets de sortie , doit être choisie comme paramètre . On prendra , dans un premier temps , la largeur . L' équation ( V.1 ) donne alors immédiatement la valeur de , puis , en isolant dans les deux autres équations , on obtient une équation dont est la seule inconnue : . ( I.66 ) La figure 5.2 montre les variations de et en fonction de pour différentes valeurs de et de pour que l' équation ( V.4 ) soit vérifiée . Il peut exister deux valeurs des angles de sortie pour une configuration donnée . Remarquons que pour l' impact direct ( ? ? de deux jets de même largeur ( ) , et en supposant que les deux jets résultants sont de même largeur ( ) , cette équation est toujours vérifiée . Dans ce cas , le théorème des quantités de mouvement ne donne , pour être vérifié , que la condition . Si l' on se fixe comme paramètre , l' équation vérifiée par devient alors ( I.67 ) et ensuite . En étudiant l' écoulement dans le plan de la vitesse complexe ( figure 5.3 ) , Gurevich et Milne-Thomson déterminent l' équation donnant les lignes de jet en fonction de la vitesse complexe w . Avec nos notations , cette équation s' écrit : ( I.68 ) Il est alors possible pour chaque configuration trouvée , grâce à ( V.4 ) , de tracer l' écoulement correspondant ( figure 5.4 , pour et ) . Nous avons ainsi , pour une configuration d' impact donnée , tracé plusieurs écoulements vérifiant le théorème des quantités de mouvement et la conservation de la masse . Les valeurs des angles et qui sont précisées sur le graphique correspondent à celles de la figure 5.2 . Nous remarquons que pour , il y a deux configurations possibles ( celle notée ( 2 ) est celle que nous retrouverons par la suite lors de la résolution itérative du système ) . Une équation supplémentaire pourrait nous permettre d' éliminer les configurations non réalistes . I.14.2 . Condition supplémentaire A partir de l' équation ( V.6 ) traduisant la géométrie des lignes de jet en fonction de la vitesse complexe et des différentes caractéristiques des jets , Keller ( 1990 ) obtient une nouvelle relation . En effet , il applique cette équation au point infini amont de la ligne L14 et obtient ainsi la distance entre le point d' arrêt ( considéré , chez lui , comme le centre du repère des coordonnées ) et l' asymptote supérieure du jet incident ( figure 5.5 ) . Il affirme ainsi que si la grandeur est spécifiée , cette nouvelle équation fournit la quatrième relation . En exprimant la distance du point d' arrêt à l' asymptote amont de la ligne L32 , il s' affranchit de définir la position physique du point d' arrêt . Il illustre alors ces propos avec les seuls jets décalés de même largeur ( , et ) . Il obtient alors les même résultats que Birkhoff et Zarantonello ou Gurevich . La résolution de cette configuration , comme nous le verrons plus tard , fournit des résultats analytiques . Malheureusement , il ne traite pas de cas plus généraux tels que les impacts de jets avec incidence ou de largeurs différentes . De plus , dans ce cas , si la solution est supposée unique , comment fixer la grandeur puisqu' elle est liée à la position du point d' arrêt ? En effet , celle  -ci n' est pas connue pour une configuration d' impact quelconque et , de plus , sa réalité physique n' est pas évidente . Ainsi , l' équation de Keller ne semble pas être la condition supplémentaire permettant de résoudre l' impact de deux jets quelconques avec ou sans incidence , mais uniquement une équation vérifiée par la solution . Dans cette étude , comme dans celles des précédents auteurs , la géométrie que prend la ligne de séparation entre les deux jets n' est pas étudiée . Par contre , si nous voulons modéliser un écoulement réel il faut que cette ligne existe et qu' elle soit en équilibre en chaque point . Etudions à présent l' importance de cette dernière remarque . Considérons , pour cela , l' impact d' un jet sur une plaque plane suffisamment longue et l' écoulement symétrique par rapport à l' obstacle . Cet écoulement est utilisé pour l' étude de deux jets égaux avec incidence ( Milne-Thomson ( 1968 ) ; les jets incidents sont alors les jets et ) . Le théorème des quantités de mouvement est bien vérifié si l' on se place dans un domaine ( A'B'B '' C '' C' D' D '' A '' A' ) suffisamment éloigné de la zone d' impact afin de considérer la vitesse constante sur les sections orthogonales des jets . Mais si l' écoulement supérieur de la figure 5.6 est inversé ( symétrie par rapport à un axe vertical , figure 5.7 ) , on obtient une configuration d' impact de deux jets de même largeur pour laquelle le théorème des quantités de mouvement est également vérifié , mais dont la paroi séparant les deux écoulements n' est alors plus une ligne de courant en équilibre . Il en est de même si la paroi n' est pas une plaque plane ou s' il y a formation d' une zone de fluide mort autour de la zone d' impact . Ces trois types d' écoulements vérifient bien les équations ( V.1 ) à ( V.3 ) mais ils ne tiennent pas compte de la forme et de l' équilibre de la surface de séparation des deux jets . Ils ne correspondent pas à un impact physique tel que nous l' étudions . Il apparaît donc que les deux seules propriétés utilisées jusqu'à présent dans la littérature ne suffisent pas à décrire correctement l' impact de deux jets avec formation d' une surface de séparation L en équilibre et existence d' un unique point d' arrêt . Ainsi , au lieu de vérifier ces propriétés sur chacune des solutions provenant de la résolution du système ( V.1 ) à ( V.3 ) , il nous a semblé plus efficace de construire la ligne L afin qu' elle soit en équilibre et que toutes les conditions aux limites soient vérifiées . Nous n' utiliserons pas le théorème des quantités de mouvement , mais celui  -ci devra évidemment être vérifié par la solution trouvée . I.14.3 . Construction d' une ligne en équilibre La ligne de séparation entre les deux jets doit donc être en équilibre , c' est-à-dire qu' en chacun de ses points la vitesse ( ou la pression ) de part et d' autre de cette ligne doit être égale . La ligne doit également être unique . Pour que ces propriétés soient vérifiées , nous avons mis au point un processus itératif dans lequel la ligne de séparation L est assimilée à une paroi rigide de dimension infinie . Dans un premier temps , et pour une géométrie de paroi donnée , nous déterminons la répartition de pression ( ou de vitesse ) sur celle  -ci lors de l' impact de J1 . Cette étape consiste à résoudre ce que l' on appellera par la suite un problème direct . Ensuite , nous déterminons la forme que devrait avoir la paroi lors de l' impact du jet J3 afin que cette répartition de vitesse due à soit vérifiée . Il s' agit alors d' un problème inverse . Nous modifions la forme de la paroi et recommençons le processus jusqu'à la convergence du système global , c' est-à-dire jusqu'à ce que la géométrie de la paroi ne change plus d' une itération à l' autre . Nous allons donc tout d' abord étudier le problème direct qui est résolu par notre méthode itérative présentée dans le chapitre II , méthode différente de celles exposées jusqu'à présent dans la littérature par King et Bloor ( 1990 b ) ) ou Peng et Parker ( 1997 ) pour ce type d' écoulements . Puis nous étudierons le problème inverse bien que , comme nous le verrons plus tard , le problème inverse utilisé lors de l' étude de l' interaction de deux jets n' est pas un véritable problème inverse . Le problème de l' impact de deux jets par couplage des deux études sera enfin considéré et les résultats seront comparés à ceux cités lors de introduction de ce chapitre . I.15 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme direct Considérons un jet de largeur et de vitesse à l' infini , délimité par les lignes de jet L12 et L14 . L' impact de ce jet sur un obstacle de géométrie quelconque et de dimension infinie conduit à la formation de deux jets et ( figure 5.8 ) . Notons PA le point d' arrêt de l' écoulement sur l' obstacle . La représentation de l' écoulement est faite dans un repère orthonormé dont l' axe des abscisses est l' axe du jet incident et dont l' origine O est sur l' obstacle . Une étude comparable utilisant la même méthode a déjà été traitée dans le cas de l' impact d' un jet sur un obstacle de dimension finie par Hureau , Brunon et Legallais ( 1996 ) ( figure 5.9 ) . Nous nous proposons donc ici d' étendre cette étude au cas d' un obstacle de dimension infinie ( B ? B'et D ? D' ) . En utilisant toujours les notations définies précédemment , les conditions aux limites s' écrivent sur l' obstacle B-PA-D , sur les lignes de courant L12 et L14 . ( I.69 ) ( I.70 ) ( I.71 ) ( I.72 ) I.15.1 . Formulation mathématique du problème Le but de cette étude est tout d' abord d' exprimer la répartition de pression ( ou de vitesse ) sur l' obstacle , puis de déterminer la forme des lignes de jet . La méthode de numérisation utilisée est toujours la même que celle exposée dans le chapitre II . Dans cette étude , nous utiliserons à nouveau la fonction de Levi-Civita ? pour exprimer la vitesse complexe . L' équation ( V.9 ) implique que la fonction ? est nulle sur les lignes de jet L12 et L14 et ( V.8 ) permet de déterminer ? d' après la géométrie de l' obstacle . Les abscisses curvilignes sur l' obstacle sont comptées à partir du centre O des coordonnées ( ) . Nous choisissons de transformer l' écoulement de manière à faire correspondre les lignes de jet et le diamètre réel du cercle unité représentant l' écoulement dans le plan ( ? ) de calcul , pour appliquer le principe de Schwarz . La résolution de ce problème direct est réduite à l' étude d' un problème de Dirichlet et ne nécessite plus la résolution d' un problème mixte sur le cercle . Les différents plans de transformation sont représentés sur la figure 5.10 . Nous cherchons l' expression de z en fonction de ? ? variable décrivant l' écoulement à la paroi ( ) dans le plan de calcul ( ? ) . Pour cela il faut déterminer les transformations qui font passer d' un plan à l' autre . La formule de Schwarz-Christoffel s' exprime ici : où représente la position du point d' arrêt PA dans le plan ( ? ? et K une constante . On trouve donc par intégration . L' étude du comportement du potentiel f au voisinage des points B et D dans les plans ( f ) et ( Z ) donne respectivement d' où . ( I.73 ) Le potentiel s' écrit donc . Le passage du plan ( Z ) au plan ( ? ) se fait encore une fois par la transformation de Joukowski . L' expression du potentiel devient donc : . ( I.74 ) Il est alors possible de dériver cette expression par rapport à d ? . En utilisant l' équation de conservation de la masse et la relation ( V.10 ) , nous obtenons finalement . ( I.75 ) La singularité au point d' arrêt ( saut de la direction de la vitesse ) s' exprime , avec les notations déjà introduites dans les chapitres précédents : . ( I.76 ) En ce point la vitesse est nulle , et donc ? tend vers . Le traitement de cette singularité est classique ( ) . En raison du principe de Schwarz utilisé pour limiter l' étude à , si devient infini quand ? tend vers , il doit en être de même pour ? tendant vers . Gurevich ( 1966 ) propose une fonction satisfaisant ces conditions : et donc et . La partie singulière de ? est ainsi totalement définie et il ne reste plus qu' à expliciter la partie continue . Le demi-cercle unité représente l' obstacle . La géométrie de ce dernier ( par le biais de la fonction ? ) et l' équation ( V.13 ) permettent de déterminer la répartition sur l' obstacle : . ( I.77 ) La partie imaginaire de la fonction est calculée par la formule de Scharwz-Villat : ( I.78 ) où . Il nous faut encore déterminer la valeur de ? représentant la position du point d' arrêt sur le cercle . D' après l' équation ( V.7 ) , nous avons , et en exprimant la formule de Schwarz-Villat pour la fonction ? au point , nous obtenons , Finalement , il est possible d' écrire . ( I.79 ) Le déplacement dz en chaque point physique de l' écoulement est connu en remplaçant dans la relation les fonctions ? et ? par leur expression . Ceci est conditionné par la connaissance de la correspondance ? entre les parois physiques et leur représentation dans le plan de calcul . Le processus itératif est initialisé par une correspondance quelconque mais il faut pouvoir définir une nouvelle correspondance à chaque étape . Ceci se fait en exprimant . En tenant compte de l' équation ( V.12 ) , nous obtenons . ( I.80 ) Dans cette intégrale , le point d' arrêt est pris comme référence des longueurs parce que sa position dans le plan de calcul est connue . Il faut donc trouver la position de PA dans le plan physique où la référence des abscisses curvilignes est l' origine O du repère des coordonnées . Pour cela , nous traçons la ligne d' arrêt LArrêt ( et ) , et en respectant la position de l' axe du jet incident par rapport à l' axe du repère , nous obtenons . ( I.81 ) Ainsi la position du point d' arrêt PA est connue et donc son abscisse curviligne sur la paroi mouillée . Le problème est à présent complètement formulé et nous pouvons nous pencher sur sa résolution numérique . I.15.2 . Procédure numérique Les inconnues du problème sont les fonctions , , , l' angle ? et la position physique du point d' arrêt décrite par . Ces valeurs sont définies respectivement par les équations ( V.17 ) , ( V.14 ) , ( V.15 ) , ( V.16 ) et ( V.18 ) qui forment un système à cinq équations et cinq inconnues . Ce système est résolu par itérations successives en construisant la série à partir d' une correspondance initiale ? 1 en suivant l' algorithme relaxé suivant ( ) , Le coefficient de relaxation varie de 0 , 5 à 0 , 9 en fonction de la courbure de l' obstacle et nous choisissons les autres nuls . La convergence du système est vérifiée par un test sur l' erreur relative maximale commise sur ? . L' organigramme général du programme est représenté figure 5.11 . Comme nous l' avons déjà précisé , le but du problème est de déterminer la répartition de pression sur l' obstacle et de tracer les lignes de jet . Le premier point est facilement réalisable à la convergence . En effet , par définition du coefficient de pression , nous avons . En ce qui concerne le tracé des lignes de jet et en raison de leur longueur infinie , il faut dans un premier temps en raison de leur longueur infinie , déterminer la position d' un point de référence sur chacune d' elles . Ils sont respectivement notés I et J sur L12 et L14 . Leurs positions dans le plan du potentiel sont choisies telle que ( figure 5.10 ) et celles dans le plan de calcul sont notées et . Ces valeurs sont réelles . Dans le plan physique , les coordonnées des points I et J sont obtenues par intégration de dz respectivement du point aux points ou en suivant l' équipotentielle . Les lignes de jet sont alors déterminées par intégration de dz sur le diamètre réel respectivement des points à et à pour L12 et à et à pour L14 . I.15.3 . Résultats Nous allons à présent valider notre méthode numérique grâce aux configurations d' impact donnant des résultats analytiques et aux résultats parus dans la littérature . Puis , nous illustrerons quelques cas plus complexes . Faisons tout d' abord quelques remarques , d' ordre général , valables pour tous les cas étudiés . La convergence du système est atteinte après 15 à 20 itérations pour un temps de calcul moyen de quelques minutes sur un micro-ordinateur à processeur PENTIUM 300 MHz . La discrétisation en ? sur le cercle est régulière ( pas moyen de 0 , 5 ° ) , excepté sur une zone autour des points B et D ( quelques degrés ) où une répartition en progression géométrique est utilisée afin d' approcher le plus possible l' infini . Il en est de même sur le diamètre réel représentant les lignes de jet . Malgré cela , le tracé de ces lignes se limite à une longueur , après la zone d' impact , égale à quelques largeurs de jet . Comparaison avec les résultats analytiques Etudions tout d' abord l' impact d' un jet sur une plaque plane infinie ( figure 5.12 ) . Milne-Thomson ( 1968 ) résout ce problème en étudiant l' impact de deux jets de même largeur dont les axes sont inclinés d' un angle quelconque ( cf. § V.4 , figure 5.29 ) . Un tel écoulement est symétrique par rapport à la bissectrice de l' angle formé par les directions des axes des jets incidents . Le problème d' interaction de jets est résolu analytiquement par les équations générales ( théorème des quantités de mouvement et conservation de la masse ) et en tenant compte de cette symétrie . Notons ? l' angle d' inclinaison de l' obstacle par rapport à l' axe du jet , les largeurs des jets en sortie sont alors et . La seconde configuration donnant des résultats analytiques est l' impact direct d' un jet sur un dièdre symétrique infini ( figure 5.12 ) . Pour des raisons évidentes de symétrie , l' étude peut être réduite au demi-plan infini supérieur . Ici la région de variation dans le plan de la vitesse complexe ( w ) est connue , mais il est plus commode de considérer la fonction de Kirchhoff Q. Nous pouvons alors transformer conformément les plans ( Q ) et ( f ) sur le demi-plan supérieur ( ? ) en utilisant la formule de Schwarz-Christoffel . La géométrie de la ligne de jet est calculée par intégration de la relation . Dans ces deux cas particuliers d' impact , les résultats obtenus par résolution de notre méthode numérique sont rigoureusement identiques à ceux calculés analytiquement . Comparaison avec des résultats publiés dans la littérature Les seuls résultats publiés jusqu'à présent dans la littérature sur ce sujet et concernant des configurations plus générales , sont les travaux de Peng et Parker ( 1997 ) . Le plan physique de l' écoulement est transformé sur le demi-plan supérieur d' un plan de calcul de façon à faire correspondre les frontières et l' axe réel . La transformation d' Hilbert leur permet de définir une relation intégrale reliant la direction des lignes de jet ( la fonction ? avec nos notations ) et la géométrie du mur , par intégration des valeurs sur l' axe réel du plan de calcul . La transformation conforme généralisée de Schwarz-Christoffel permet également de définir une relation reliant ? à la géométrie du mur . Un système non linéaire d' équations intégro-différentielles pour la géométrie des lignes de jet en fonction de celle du mur , est ainsi obtenu . Ce système peut être résolu analytiquement pour quelques écoulements spéciaux ( configurations précédentes ) . Dans les cas les plus généraux , la position du point d' arrêt dans le plan de calcul n' étant pas connue , des difficultés de calcul apparaissent . La formulation intégrale du théorème des quantités de mouvement est appliquée à un domaine fermé suivant les frontières de l' écoulement . Une relation intégrale entre l' image du point d' arrêt dans le plan de calcul , la vitesse du fluide et la géométrie du mur est établie par projection sur les axes du repère des coordonnées . La linéarisation du problème est étudiée par les auteurs et des solutions analytiques sont données . Peng et Parker illustrent également leur méthode par quelques solutions numériques issues du système non linéaire , et montrent la forme des lignes de jet pour des géométries différentes de murs . Ils se limitent cependant , dans leur résultats , au cas de l' impact d' un jet à incidence nulle sur un mur de direction verticale à l' infini et présentant une légère bosse au niveau de la zone d' impact . Nous avons comparé leurs résultats avec ceux que nous obtenons avec notre méthode itérative . Dans le cas de l' impact sur un mur symétrique ( figure 5.13 ) nous pouvons remarquer que les lignes de jets se correspondent correctement . Mais plus le mur est dissymétrisé par rapport à l' axe du jet , plus les résultats diffèrent . Cette différence nous a conduit à remarquer que la conservation du débit ne semble pas être vérifiée sur les graphiques présentés par Peng et Parker . En effet , la somme des largeurs à l' aval doit être égale à la largeur amont . Or , même si le tracé des lignes de jet est très court pour les résultats de Peng et Parker , cette relation ne semble pas être vérifiée , à moins d' avoir une augmentation brusque de la largeur du jet supérieur , ce qui serait surprenant . Nous ne pouvons donc pas valider notre méthode à partir des résultats présentés par Peng et Parker . Mais comme notre méthode donne de bons résultats avec les solutions analytiques , les configurations symétriques publiées par les auteurs , et puisque nous trouvons de bons résultats pour l' impact de deux jets ( comme nous le verrons par la suite ) , nous pensons pouvoir dire qu' elle résout correctement le problème de l' impact d' un jet sur un obstacle infini . Configurations plus complexes Nous étudions à présent des configurations d' impact avec des obstacles ayant une géométrie plus complexe , et tout d' abord un obstacle proche de ce qui peut être attendu lors de l' impact de deux jets , la ligne de séparation étant considérée comme un mur rigide . Il consiste en un arc de parabole étendu à l' infini de manière continue par deux plaques planes . Dans le cas symétrique , le sommet de la parabole correspond au centre du repère et l' axe est confondu avec l' axe de symétrie . Dans ce repère l' équation du mur présenté figure 5.14 est : Nous avons également étudié cet obstacle pour un jet arrivant à une incidence non nulle mais dont l' axe passe toujours par le sommet O de la parabole . Le calcul s' est donc fait en se plaçant dans le repère de la figure 5.14 . Les résultats correspondant à ces deux configurations pour des largeurs de jet incident de 0 , 5 et 1 , 5 sont présentés figure 5.15 . Il est également possible de compliquer la zone d' impact pour vérifier que le fluide suit correctement de fortes variations de direction . Le mur consiste donc à présent en trois périodes de sinusoïde , prolongées à l' infini par deux plaques planes . Son équation dans le cas de l' étude de l' écoulement symétrique est ( dans le repère de la figure 5.16 ) : La première configuration dissymétrique étudiée a consisté à retourner le mur et à décaler vers le bas l' axe du jet d' un quart de période de la sinusoïde ( repère ) . Ensuite , nous avons toujours considéré ce mur mais avec un jet provenant avec une incidence ? , l' axe coupant toujours le mur au « sommet » de la sinusoïde centrale ( même centre du repère que pour le cas symétrique ) . Les résultats correspondants à ces trois configurations sont représentés figure 5.17 , à chaque fois pour des largeurs de jet incident égales à 0 , 5 et 1 . Dans ce dernier cas , les répartitions de pression sur chacun des murs sont également représentées sur la figure 5.17 . I.15.4 . Conclusion Nous pensons pouvoir ainsi affirmer avoir résolu l' étude de l' impact d' un jet sur un obstacle infini de géométrie quelconque , malgré la vérification incomplète avec les résultats présentés par Peng et Parker . La méthode de résolution du problème utilisée implique un tassement important sur les frontières dans le plan de calcul autour des points B et D à l' infini . Ainsi il est difficile de calculer les pressions , ou les vitesses , pour des abscisses curvilignes sur l' obstacle supérieures à quatre ou cinq largeurs de jet de part et d' autre du point d' arrêt . Ce phénomène ( « crowding » ) est le principal inconvénient de ce genre de méthode utilisant les transformations conformes et limite ainsi l' étude autour de la zone d' impact . Il existe , dans notre cas , un autre facteur limitant le tracé des lignes de jet . En effet , quand les points B et D sont approchés de trop près ( environ 10 - 6 ) sur le diamètre réel , la formule de Schwarz-Villat ne permet plus alors de calculer correctement la fonction ? ? et par conséquent dz . Néanmoins , les tracés obtenus sont , la plupart du temps , assez longs pour représenter la zone rectiligne des obstacles traités , et donc toute la zone d' impact , contrairement aux tracés représentés par Peng et Parker par exemple . Parmi les avantages de notre méthode , il y a sa simplicité de programmation et d' utilisation , ses capacités et son faible temps de calcul . I.16 . Impact d' un jet sur un obstacle infini  : le probleme inverse Nous allons à présent étudier le problème inverse du précédent , c' est-à-dire déterminer la forme géométrique d' un mur infini en connaissant la répartition de vitesse ( ou de pression ) qu' il doit y avoir lors de l' impact du jet ( Weber et Hureau ( 1999 a ) ) ) . Les notations sont les mêmes que celles utilisées dans le paragraphe précédent et définies sur la figure 5.8 . Les données du problème sont la largeur du jet incident et une répartition de vitesse ( ou de pression ) donnée en fonction d' une abscisse curviligne définie à partir d' un point particulier du mur par rapport au jet . Le plus simple est de faire correspondre ce point d' abscisse curviligne nulle avec le point d' arrêt . Il est également considéré comme étant le centre du repère des coordonnées et le jet , dont l' axe est parallèle à l' axe des abscisses , sera horizontal . Les conditions aux limites ( V.7 ) et ( V.9 ) décrivant l' écoulement sont inchangées . La condition ( V.8 ) devient ici sur l' obstacle B-PA-D , ( I.82 ) où V ( s ) représente la distribution initiale . I.16.1 . Formulation mathématique du problème De même que précédemment , la non connaissance du domaine de l' écoulement dans le plan de la vitesse complexe ( w ) implique l' introduction de la fonction ? Les conditions aux limites ( V.9 ) et ( V.19 ) impliquent que la fonction ? est nulle sur les lignes L12 et L14 , et que sur l' obstacle , dont la géométrie est donnée par ? , nous connaissons ?  : si la répartition initiale est une répartition de vitesses ou s' il s' agit d' une répartition de pression . Par conséquent , si le domaine représentant l' écoulement dans le plan de calcul ( ? ) est le disque unité , la fonction ? peut être calculée directement par la formule de Schwarz-Villat . Nous avons décidé de traiter les problèmes direct et inverse de manière symétrique en utilisant la méthode de Levi-Civita . La figure 5.18 montre le domaine de l' écoulement dans les différents plans de transformation . Nous pouvons remarquer que si l' écoulement est identique à celui du problème précédent , sa représentation dans les plans auxiliaire et de calcul est différente . En effet , pour définir une transformation conforme , il faut fixer la correspondance de trois couples de points . Les points B et D sont naturellement choisis . Il reste donc à imposer , soit la position du point A , soit celle du point PA . Dans des études comparables ( problème direct , jet sur un obstacle fini , ... ) , la position du point d' arrêt dans le plan du calcul est donnée par une équation spécifique ( cf. ( V.16 ) ) . Ici , comme nous le verrons par la suite , nous n' avons plus d' équation équivalente . De plus , du fait de la longueur infinie de l' obstacle , il nous faut un point de référence pour les abscisses curvilignes qui soit fixé dans chacun des plans . Les points A , B et D ne pouvant pas satisfaire cette condition , c' est le point PA qui est fixé . Nous choisissons de le fixer en dans le plan de calcul et en dans le plan auxiliaire . La position respective du point A dans ces plans sera notée et a . Le déroulement mathématique du principe de résolution est à présent très semblable à celui du problème direct étudié précédemment . Le passage des plans ( f ) à ( Z ) se fait toujours par la formule de Schwarz-Christoffel : La constante K est déterminée par l' étude des variations de f au passage des points singuliers A , B et D dans les plans ( f ) et ( Z ) : d' où . ( I.83 ) En utilisant toujours la transformation de Joukowski , nous avons maintenant ( I.84 ) et donc , avec , . ( I.85 ) Comme l' écoulement est identique à celui étudié lors du problème direct , la fonction singularité est la même et avec , nous obtenons et . La relation ( V.13 ) est inchangée . Dans le problème inverse , nous connaissons la répartition de vitesse sur l' obstacle , c' est-à-dire la fonction ? . La fonction continue est donc connue ( I.86 ) et c' est la fonction qui doit être calculée . La formule de Schwarz-Villat utilisée est différente de celle utilisée précédemment puisque c' est la partie imaginaire de la fonction qui est connue : , ( I.87 ) où la constante doit être déterminée . Le reconstruction de la fonction déterminant les abscisses curvilignes sur l' obstacle se fait par la relation . ( I.88 ) où la valeur de a est inconnue . Il nous faut donc déterminer ces deux valeurs . Pour cela , il est possible d' écrire où est une fonction totalement définie pour une valeur de ? fixée . Nous avons alors la relation . Une variation de la valeur de implique une rotation de l' ensemble . Pour déterminer cette constante , nous traçons la ligne d' arrêt LArrêt . La pente à l' infini amont ( en A ) permet alors de déterminer puisque le choix des axes impose le fait que le jet incident arrive avec une incidence nulle . La détermination de la constante a n' est pas aussi immédiate . Fixons tout d' abord une valeur de a ( ) . Il est alors possible de calculer dz et ds , et donc de tracer l' obstacle , la ligne d' arrêt ainsi que les lignes de jet . La conservation du débit ( ) et l' équation ( V.20 ) permettent d' exprimer les hauteurs et en fonction de la valeur a  : ( I.89 ) Mais si la valeur de a est prise aléatoirement , les hauteurs et obtenues par le tracé ne seront pas égales aux valeurs théoriques ( V.26 ) . Une dichotomie faite sur l' erreur ou ( ) permet de déterminer la valeur de a correspondant aux différentes discrétisations en cours pour une itération donnée . Le problème est donc à présent entièrement défini théoriquement et nous allons nous intéresser à sa numérisation . I.16.2 . Procédure numérique Les inconnues sont les fonctions , , ainsi que la valeur a représentant la position du point infini amont dans le plan de calcul ( ? ) . Pour une valeur initiale , les équation ( V.23 ) et ( V.25 ) forment un système à deux équations et deux inconnues : Ce système est résolu à partir d' une répartition initiale et suivant le schéma récursif suivant : où le coefficient de relaxation est choisi entre 0 , 5 et 0 , 9 . La convergence de ce système est vérifiée par l' erreur relative maximale associée à la bijection ? . Une fois la convergence atteinte , nous pouvons tracer la ligne d' arrêt d' après ( V.22 ) et déterminer . Pour tracer les lignes de jets L12 et L14 , les positions des points de référence I et J doivent être tout d' abord déterminées ( voir configuration précédente pour plus de détails ) . Les lignes de jets sont tracées à partir de ( V.22 ) , et l' erreur ( ou ) est évaluée . L' ensemble de cette procédure itérative est reconduit pour une nouvelle valeur , et la convergence est vérifiée par un test sur l' erreur relative maximale associée à ( ou ) . Les valeurs de la fonction sont alors déterminées , par ( V.24 ) , et l' obstacle est tracé . I.16.3 . Existence et unicité Nous pouvons remarquer qu' au cours de la résolution du problème , la répartition de pression ( ou de vitesse ) ne doit vérifier aucune contrainte . Lors de l' étude du problème inverse pour un profil d' aile avec sillage attaché une solution n' existe que si une relation intégrale est vérifiée par la solution . Cette relation apparaît tout aussi bien lors de la résolution avec notre méthode numérique ( Hureau et Legallais ( 1996 ) ou Weber et Hureau ( 1999 b ) ) ) qu' avec des méthodes approchées comme celles de Lighthill ( 1945 ) , Eppler et Somers ( 1980 ) ou Volpe ( 1990 ) . Avec des notations équivalentes à celles avec lesquelles nous travaillons , elle s' écrit sous la forme . Cette simple relation est fortement restrictive . En effet , elle implique que n' importe quelle courbe ? ( s ) ne peut pas être une courbe de pression d' un profil , même si elle vérifie les critères classiques ( existence d' un point d' arrêt et à la pointe ) . Dans cette étude , il n' existe pas une telle contrainte . La répartition de pression ( ou de vitesse ) doit tout de même vérifier deux propriétés : les vitesses à l' infini des jets résultants de l' impact doivent être égales et un point d' arrêt avec vitesse nulle doit exister . Ceci revient à dire que le problème inverse pour un jet sur un obstacle de dimension infinie peut être résolu à partir de n' importe quelle distribution initiale qui devient nulle quand l' abscisse curviligne s devient infini . A notre connaissance , aucune solution du problème inverse pour l' impact d' un jet sur un obstacle infini n' existe dans la littérature . Le seul moyen qu' il nous reste afin de vérifier nos résultats est d' utiliser le problème direct correspondant , et exposé précédemment . A partir d' une géométrie d' obstacle fixée , la résolution du problème direct nous fournit une répartition de pression . Cette dernière sert de donnée de départ au problème inverse qui , une fois résolu , permet de retracer la géométrie du mur . Les deux obstacles ( celui ayant servi initialement au problème direct et celui résultant du problème inverse ) doivent donc coïncider . Après plusieurs essais avec des géométries initiales différentes , nous avons constaté que , soit le système ne convergeait pas , soit il convergeait mais vers une solution différente de celle attendue . Néanmoins , en considérant les murs construits avec les solutions convergées et en les traitant par le problème direct , nous avons constaté que les répartitions de pression sur les murs initiaux et reconstruits étaient identiques . Deux murs , de géométries différentes , soumis à l' impact d' un même jet présentent donc la même répartition de pression Cp ( s ) . Nous pouvons donc affirmer qu' il n' existe pas une solution unique pour une répartition de pression ( ou de vitesse ) donnée . Une contrainte supplémentaire doit être imposée pour garantir l' unicité de la solution . Nous pouvons fixer la hauteur de la ligne d' arrêt . Cette valeur est déterminée par le tracé de la ligne d' arrêt et d' après la position de l' axe du jet : . Ce qui donne , en utilisant l' équation de conservation de la masse , . Il est physiquement impossible d' évaluer cette grandeur puisqu' elle ne représente rien de concret . Il semble donc préférable , d' après l' équation précédente , de fixer le rapport des largeurs de jet après l' impact . Nous remarquons qu' ainsi la valeur de a s' obtient directement par l' équation ( V.20 ) . La boucle récursive sur cette grandeur qui était basée sur l' étude de , devient inutile . La convergence du système est atteinte après une vingtaine d' itérations , ce qui prend environ une minute de calcul . I.16.4 . Résultats Comme nous l' avons dit précédemment , il n' existe pas de résultats dans la littérature au sujet de l' impact d' un jet sur une paroi infinie . Nous allons présenter ici quelques solutions obtenues à partir de quatre fonctions différentes . Notons que chaque obstacle obtenu a été testé par le problème direct afin de vérifier qu' il s' agit bien d' une solution au problème . La première répartition de vitesse testée ( figure 5.20 ) est celle obtenue lors de l' impact d' un jet de largeur 2 sur une plaque plane inclinée d' un angle de 20 °. La résolution du problème direct pour cette configuration d' étude donne une solution analytique de la forme des lignes de jet , et le rapport prend la valeur de 0 , 49029 . Nous avons représenté le mur et le jet obtenus par le problème inverse avec cette valeur du rapport ( ) . Le tracé des lignes de jet correspond exactement avec les résultats analytiques du problème direct . Les obstacles obtenus pour des rapports différents ( 0 , 8 et 0 , 3 ) sont présentés sur la même figure . Nous pouvons remarquer que la forme de la paroi est alors très différente de la plaque plane . La position relative de l' axe du jet par rapport au point d' arrêt sur l' obstacle varie également beaucoup . L' étude suivante a été menée avec l' obstacle sinusoïdal introduit figure 5.16 . Le cas testé est celui de l' impact avec incidence et pour une largeur de jet de 1 . La figure 5.21 représente les obstacles obtenus pour ( valeur fournie par le problème direct ) et 0 , 4 . Malgré les oscillations de la paroi , les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants pour la valeur permettant la comparaison avec le problème direct . Pour ces deux exemples , nous avons utilisé des résultats du problème direct comme répartition initiale pour le problème inverse . Nous pouvons remarquer que la longueur de la paroi mouillée n' est que rarement supérieure à quelques fois la largeur du jet incident . Ce phénomène de tassement au niveau des points infinis a déjà été évoqué précédemment et , malgré la discrétisation géométrique sur le cercle autour de 0 et ? , les abscisses curvilignes ne sont pas très importantes . Le fait que « l' infini » ne soit jamais atteint sur l' obstacle limite les possibilités de test . Comme la fonction peut être totalement arbitraire , à condition qu' il existe un point d' arrêt et que le Cp soit nul à l' infini , une infinité de fonctions peuvent être choisies . C' est ce que nous montrons dans ce troisième exemple où les abscisses curvilignes sont plus grandes : ( figure 5.22 ) . Les résultats obtenus par résolution du problème inverse pour un jet de largeur 2 et avec , 0 , 5 et 0 , 05 sont présentés sur cette figure . Ce dernier cas est une configuration extrême parce que les largeurs en sortie sont très différentes . Un agrandissement autour du point d' arrêt est présenté . Nous remarquons une zone de recouvrement du fluide . Ce phénomène , non-physique , apparaît parce que rien dans notre formulation ne permet de l' éliminer . Il est très classique dans ce genre d' étude utilisant l' analyse complexe et a déjà été cité , par exemple , lors de l' étude d' écoulements autour d' obstacles polygonaux ( Elcrat et Trefethen ( 1986 ) ) ou de jets issus de buses ( Dias , Elcrat et Trefethen ( 1987 ) ) . Enfin , une dernière manière d' obtenir une répartition de pression est de modifier une répartition existante afin d' observer les modifications au niveau de la géométrie du mur . Ce cas a été traité avec la répartition présentée figure 5.21 et qui a été légèrement modifiée avant le point d' arrêt ( figure 5.23 ) . Pour un même rapport correspondant à la configuration étudiée avec le problème direct , les deux murs obtenus sont très différents autour de la zone modifiée . Cet exemple montre l' intérêt de ce type de problème pour l' étude de l' optimisation de transferts thermiques dus à l' impact d' un jet sur une paroi infinie . I.16.5 . Remarque sur les configurations symétriques Aucune distribution de pression symétrique n' a été présentée . En effet , ce cas d' étude ne peut pas être traité par la formulation décrite . Pour une configuration symétrique , nous savons que et sont égaux à zéro . Ceci implique donc un problème numérique puisque . La solution est dans ce cas unique : . Les trois équations donnant , df et doivent être réécrites et deviennent identiques à celles du problème direct ( respectivement ( V.11 ) , ( V.12 ) et ( V.17 ) ) . Le traitement ne change pas par rapport à celui exposé dans ce paragraphe . I.16.6 . Conclusion D' après l' ensemble de ces résultats , nous pouvons dire que le problème de la détermination de la géométrie d' un obstacle infini soumis à l' impact d' un jet est résolu . Cette méthode implique un tassement important sur les frontières au niveau des points B et D à l' infini et limite ainsi le tracé de l' obstacle à quelques largeurs de jet . Il s' agit là d' une limitation usuelle de ce type de méthode numérique de transformation conforme . Le tracé des lignes de jet est également limité parce que , comme pour le problème direct , la formule de Schwarz-Villat ne permet pas de calculer correctement ? au voisinage des points B et D sur le diamètre . Nous remarquons que le problème inverse de l' impact d' un jet sur une paroi infinie ne nécessite la vérification que de deux contraintes pour la répartition de vitesse initiale : un point d' arrêt à vitesse nulle doit exister et la vitesse à l' infini doit être égale à . De plus , une contrainte supplémentaire doit être imposée pour garantir l' unicité de la solution . Nous n' avons pas prouvé ici que la solution est unique , mais seulement vérifié son existence en utilisant le problème direct . I.17 . Interaction de deux jets Après ces deux études préliminaires , nous pouvons à présent étudier le cas de l' interaction de deux jets . Les données du problème sont les directions des jets , leur hauteurs et , dans le cas de jets de même direction , le décalage vertical de leur axe . Les deux jets ont la même vitesse à l' infini . Le problème lié à cette configuration d' impact pour laquelle la ligne de séparation entre les deux écoulements est construite en équilibre , est résolu par couplage des problèmes direct et inverse . Par rotation de tout le système , il est toujours possible de considérer le jet venant de la droite comme étant horizontal ( ) . C' est pour ce jet que nous résoudrons le problème inverse , et les variables de calcul correspondant à cette zone ( ? , ? , ? , ? ... ) seront notées avec un indice supérieur II . Le problème direct sera donc résolu pour le jet et les variables seront indexées par l' indice I . Remarquons que le problème direct à été résolu avec une incidence nulle lors de l' étude générale . Il suffit donc d' opérer , lors de la résolution de ce problème , une rotation d' angle à l' ensemble de l' écoulement dans la zone I pour se ramener à la configuration étudiée à présent . I.17.1 . Remarques sur le problème inverse Nous avons remarqué que le problème inverse fournit une infinité de solutions et qu' il faut imposer une condition supplémentaire pour avoir une unique solution . Dans le cas de l' interaction de deux jets , une telle chose n' est pas possible puisque les largeurs en sortie sont inconnues . Les deux problèmes ( direct et inverse ) sont traités de manière similaire en transformant les plans physiques suivant les même plans ( seuls les points B et D sont intervertis ) . Lors de l' étude générale du problème inverse , la position du point d' arrêt était fixée dans le plan ( ? ) et celle du point infini amont A devait être déterminée . Dans cette étude , il est possible de fixer le point A en comme pour le problème direct . En effet , le point d' arrêt étant confondu pour les deux écoulements , sa position est définie pour le problème inverse d' après la correspondance avec le problème direct : . Il ne s' agit donc pas d' un véritable problème inverse , mais nous continuerons à l' appeler ainsi , à défaut de terme plus précis . Les équations décrivant la résolution du « problème inverse » sont alors très similaires à celle du problème direct : , . Les équations ( V.13 ) , ( V.14 ) et ( V.17 ) sont inchangées . I.17.2 . Résolution numérique Les inconnues de ce problème global sont les largeurs et les directions des deux jets résultant de l' impact , ainsi que la géométrie des lignes de jet et de la ligne de séparation L . Le processus itératif général ( indexé par l' indice k ) est initialisé par une géométrie de mur quelconque . On choisit , par exemple , une plaque plane infinie dont la direction correspond à la bissectrice entre les directions des deux jets incidents . Dans le cas particulier de jets non décalés de même largeur ( ) , la bissectrice est la solution du problème . Il faut donc prendre soit une autre inclinaison de la plaque plane initiale , soit la déformer . Le problème direct pour le jet est alors résolu , et il est possible de déterminer la répartition de pression sur le mur ( l' indice n correspond à l' itération secondaire , liée à la résolution du problème direct uniquement , pour le problème inverse , on utilisera l' indice m ) : Le point d' arrêt de l' écoulement est choisi comme origine du repère des coordonnées et des abscisses curvilignes . Sa position dans le plan de calcul sert à définir , et la répartition de pression est utilisée pour initialiser le problème inverse : Un nouveau mur est alors déterminé par la répartition . Le processus global peut être réitéré jusqu'à ce que les répartitions et se correspondent . Mais pour ne pas modifier trop brutalement la géométrie du mur entre les itérations k et k + 1 , une relaxation sur les angles est définie : . Le coefficient de relaxation r est choisi entre 0 , 3 et 0 , 5 et la convergence du processus global est définie par rapport à l' erreur relative maximale sur la répartition . Lors de la résolution du processus global , la convergence complète des problèmes direct et inverse n' est pas utile puisque la géométrie de la ligne de séparation est fausse lors des itérations principales k . De plus , la résolution du problème direct nécessite le calcul de la formule de Schwarz-Villat pour chaque point sur le cercle , ce qui est très pénalisant au niveau du temps de calcul . Pour ces raisons , nous ne ferons que trois itérations pour le problème direct . Nous ne faisons également que trois itérations pour stabiliser le « problème inverse » , bien que le calcul soit immédiat , parce que cela suffit à modifier la répartition en longueur , et donc la géométrie de l' obstacle . La convergence du processus global prend entre vingt et trente itérations , ce qui nécessite une quinzaine de minutes de calcul sur un micro-ordinateur à processeur PENTIUM 300 MHz . I.17.3 . Cas de l' impact direct de jets décalés Dans le cas de l' impact direct ( ) de deux jets décalés , dont les axes ne sont pas confondus , une quatrième équation peut être écrite . En effet , nous avons vu précédemment qu' en nous plaçant dans le plan de la vitesse complexe ( figure 5.3 ) , nous avons l' équation des lignes de jet ( V.6 ) : . En considérant , il est possible de déterminer la différence de hauteur entre les lignes L14 et L32 jets infinis amont . Une quatrième équation pour le problème est obtenue puisque la distance est également définie par la position relative des deux jets incidents : . ( I.90 ) En considérant le théorème des quantités de mouvement , la conservation de la masse et cette équation supplémentaire , nous obtenons alors un système à quatre équations et quatre inconnues . Des solutions analytiques peuvent être définies , mais nous allons traiter cette configuration d' impact spéciale par la méthode itérative . Il nous faut néanmoins modifier notre programme pour tenir compte de cette donnée . Les résolutions des problèmes direct et inverse ne sont pas modifiées mais c' est au niveau du couplage des deux études que les changements ont lieu . A la sortie du problème direct , la distance est évaluée par le tracé de la ligne d' arrêt . La position du point d' arrêt pour le « problème inverse » est , dans un premier temps , choisie égale à et la distance est calculée après résolution du « problème inverse » . Une dichotomie sur la valeur de est nécessaire pour obtenir l' égalité . Pour une nouvelle valeur de , la répartition est modifiée par un « éventail » et le « problème inverse » est à nouveau résolu . Une fois l' égalité vérifiée , la géométrie de la ligne de séparation est définie et le processus global est réitéré jusqu'à la convergence . I.17.4 . Résultats Lors de ces différentes études , le théorème des quantités de mouvement n' a pas été utilisé mais il doit forcément être vérifié . Il va donc nous servir de moyen de validation pour nos résultats , quand il n' existe pas de solution analytique au problème . Par projection sur les axes , et avec les notations de la figure 5.24 , nous obtenons les deux équations suivantes : ( I.91 ) ( I.92 ) ( I.93 ) Les termes de gauche sont définis par la configuration de l' écoulement ; ils sont donc connus . Une erreur relative est définie pour chacune des projections : La valeur de 0 , 1 % sur les erreurs relatives est choisie comme limite acceptable . Les résultats correspondants aux configurations donnant des résultats analytiques ( dont les jets décalés ) , ainsi que des configurations plus générales , sont présentés . Résultats analytiques L' impact direct ( ) de jets de même largeur ( ) donne un résultat évident : , et . Ces valeurs sont exactement retrouvées par le calcul et ce pour n' importe quelle forme initiale du mur représentant la ligne de séparation des deux fluides . Milne-Thomson ( 1968 ) donne une expression très simple des équations des lignes de jet pour ce cas particulier : . La figure 5.28 montre que les lignes de jet calculées correspondent exactement à cette équation . Nous avons ensuite étudié l' impact direct ( ) de jets de largeur différente ( ) . Dans ce cas , et en raison de la symétrie par rapport à l' axe commun des jets incidents , le théorème des quantités de mouvement donne , et . Quelles que soient les largeurs h 3 testées , la relation donnant la valeur de n' est pas exactement vérifiée . Une erreur relative non nulle apparaît donc sur la projection sur l' axe horizontal du théorème des quantités de mouvement . Pour une discrétisation régulière sur le demi-cercle ( pas de 0 , 5 ° ) , les erreurs relatives xrel sont supérieures à la limite convenable fixée à 0 , 1 % ( figure 5.29 , pour le cas particulier ) , surtout pour les faibles largeurs h 3 ( pour et pour ) . Une discrétisation plus fine au voisinage des points infinis a été à nouveau utilisée lors de la résolution du problème direct afin d' approcher les points infinis . Les erreurs relatives sont alors fortement diminuées pour revenir autour de la limite d' erreur convenable . Les résultats restent néanmoins moins bons pour les faibles largeurs h 3 parce que les points de discrétisation se tassent beaucoup au voisinage des points infinis . Les résultats , par la suite , seront toujours obtenus avec cette discrétisation , sauf mention contraire . Dans chacun des cas , l' erreur relative commise sur l' angle calculé et la valeur théorique est alors très faible ( autour de 0 , 05 % ) . La troisième configuration donnant des résultats analytiques est l' impact avec incidence de deux jets de même largeur ( ) . Comme le signale Milne-Thomson , quand deux jets de même largeur se rencontrent avec une incidence , la solution est symétrique par rapport à la bissectrice des directions des deux jets incidents . Ainsi , en appliquant le principe de réversibilité , il est possible d' intervertir les rôles des jets incidents et résultants et nous retrouvons donc la configuration précédemment étudiée . Les résultats analytiques ( qui sont retrouvées par la méthode numérique ) sont donc : , , , et . Impact de jets décalés La dernière configuration donnant des résultats analytiques est l' impact direct ( ) de jets décalés de même largeur ( ) . Les erreurs relatives sur les angles des jets résultants entre les valeurs analytiques et celles calculées sont très faibles pour les différentes hauteurs de décalage ( table 5.1 ) . La convergence de ce programme particulier des jets décalés est comparable en tous points avec celle du programme traitant les jets non décalés ( environ vingt itérations sont nécessaires ) . Sur la figure 5.30 , un exemple de configuration générale ( ) est présenté . 0 , 7 280 , 541 0 , 02 100 , 652 0 , 07 1 , 1 266 , 535 0 , 01 86 , 476 0 , 02 1 , 5 251 , 935 0 , 06 72 , 244 0 , 21 TABLE 1.1 : Erreurs commises sur les angles en sortie d' impact ( ) . A la vue de l' ensemble de ces résultats comparables à des résultats analytiques , nous supposons avoir validé notre méthode de calcul , et pouvons présenter des résultats de configurations plus générales non traitées dans la littérature . L' ensemble des valeurs numériques calculées sont représentées sur les graphiques de la figure 5.31 qui donnent les variations de et en fonction de pour différentes valeurs de . Configurations générales d' impact Les hypothèses de ces configurations d' impact sont et . Pour tester les possibilités de notre méthode de résolution , nous avons essayé différentes valeurs pour ces grandeurs : . Les valeurs numériques des grandeurs calculées sont présentées figure 5.31 et les erreurs commises sur le théorème des quantités de mouvement figure 5.29 . Notons tout d' abord que les résultats obtenus pour une configuration à incidence négative ( figure 5.32 ) sont exactement similaires à ceux avec l' incidence positive en échangeant respectivement les rôles de et avec et . Les valeurs et erreurs calculées ne sont donc pas représentées pour ces incidences sur les figures 5.31 et 5.29 . En ce qui concerne les erreurs relatives commises sur les projections du théorème des quantités de mouvement , nous remarquons plusieurs choses . Tout d' abord , comme nous l' avons remarqué précédemment , les erreurs relatives commises sont nettement plus faibles avec une discrétisation fine aux extrémités représentant l' infini sur le cercle . Remarquons ensuite que l' erreur est , pour toutes les configurations étudiées avec la discrétisation fine , inférieure à la limite de satisfaction que nous nous sommes imposés ( 0 , 1 % ) et est même très faible ( < 0 , 02 % ) pour des configurations peu contraignantes ( et 0 , 5 ) . Par contre , en ce qui concerne les erreurs relatives commises suivant la projection sur , les grandeurs sont très différentes suivant les configurations . L' allure des courbes d' erreur sont semblables pour les différentes largeurs de jet et , de manière générale , l' erreur commise est plus importante pour les faibles largeurs . Il est raisonnable de penser qu' en affinant encore la discrétisation au niveau des points B et D pour ces derniers cas , les résultats seront meilleurs , mais les temps de calcul deviendront alors rapidement très importants pour un gain néanmoins relativement faible . La précision de calcul de la machine est également très vite atteinte . De plus , il ne sera pas possible d' éliminer totalement le pic d' erreur apparaissant pour chacune des configurations . Ceci peut s' expliquer par le fait que le terme de gauche de l' équation ( V.28 ) devient nul . Une faible erreur absolue entraîne alors une erreur relative importante mais non significative . Pour les configurations donnant ces pics , nous remarquons que l' erreur absolue commise ( de l' ordre de 10 - 4 ) est du même ordre de grandeur que celle pour une configuration donnant une faible erreur relative . Enfin , pour des configurations extrêmes d' impact ( faible largeur et forte incidence & 226;& 128;& 147; figure 5.32 ) , le jet résultant recoupe le jet incident . Bien évidemment ces résultats ne peuvent pas représenter un écoulement physique , mais à nouveau , rien dans notre formulation ne permet d' éviter de tels phénomènes . Il s' agit là d' une limitation de la méthode pour des configurations trop extrêmes . I.17.5 . Remarques sur l' existence et l' unicité de la solution L' existence et l' unicité ne sont pas traitées d' un point de vue mathématique ici . Nous pouvons néanmoins faire quelques remarques sur l' unicité ( l' existence étant admise ) . Rappelons que les auteurs comme Birkhoff et Zarantonello ( 1957 ) , Gurevich ( 1966 ) ou Milne-Thomson ( 1968 ) affirment qu' il existe une infinité de configurations possibles dans le cas de l' impact avec incidence de jets de différentes largeurs . Nous avons , dans notre méthode de résolution , imposé l' équilibre de la ligne de séparation des deux jets plutôt que d' utiliser la conservation de la masse et le théorème des quantités de mouvement . Imposer cette condition semble , d' après les résultats obtenus , plus efficace qu' utiliser le théorème des quantités de mouvement parce que la solution obtenue est unique . L' unicité de la solution peut s' expliquer à partir de remarques faites en comparant les différents résultats obtenus . Prenons une configuration d' impact donnée ( et ) et traçons les plans du potentiel et auxiliaire pour chacun des jets et ( figure 5.33 ) . Pour l' étude de l' ensemble des deux jets avec ligne de séparation en équilibre , il faut faire correspondre les plans auxiliaires ( Z ) en effectuant une rotation d' angle ? à l' une des deux représentations , de sorte que le domaine fluide représente le plan . La position du point d' arrêt devant correspondre , nous pouvons écrire que et , d' où ( pour fixé , quelque soit ) . Considérons maintenant , toujours pour la configuration choisie , l' écoulement « inverse » , en échangeant les rôles de et avec ceux de et . Par un raisonnement similaire , nous avons alors la relation ( pour fixé , quelque soit ) . Nous avons remarqué la conservation ( aux erreurs de calcul près , table 5.2 ) de ce dernier rapport pour une incidence donnée quelles que soient les largeurs de jets utilisées . h 3 = 1 0 , 8 0 , 5 0 , 2 ? 1 = 0 ° 1 1 1 1 45 2 , 24 2 , 24 2 , 25 2 , 31 90 5 , 83 5 , 84 5 , 91 6 , 27 TABLE 1.2 : Variation de h 4 / h 2 en fonction des caractéristiques des jets . Pour une configurations donnée , le rapport entre les largeurs en sortie peut donc être déterminé en étudiant la configuration avec la même incidence et , ce qui donne un résultat analytique ( jets sur une plaque plane infinie avec incidence ) . Nous obtenons alors les relations et . Pour une configuration donnée , les différents rapports sont donc connus d' après les conditions d' impact : et . En utilisant la définition de h 1 ( ) , on obtient , et ensuite , par combinaison , toutes les hauteurs sont connues . Quelle que soit la configuration étudiée , il est donc possible de déterminer analytiquement la valeur des largeurs des jets résultant de l' impact . L' infinité de solutions prédites par les auteurs cités est donc analytiquement impossible . Mais l' étude des résultats fournis par le théorème des quantités de mouvement et la conservation de la masse ( § V.1 ) fournissait pour certaines configurations deux géométries pour une largeur fixée . La figure 5.34 reprend la figure 5.2 et montre l' évolution des valeurs prises par en fonction de pour et appartenant à  ACC O 0 , 2   ; 0 , 5   ; 0 , 8   ; 1 F. Notons que les résultats obtenus par notre programme ( les croix sur la figure ) correspondent bien à la ( ou une ) solution analytique fournie par le système ( V.1 ROMNUM ) à ( V.3 ) , ainsi qu' à la valeur analytique calculée ( repère de graduation ) . Ces résultats montrent un phénomène auquel on peut s' attendre : pour un angle fixé , une diminution progressive de entraîne une augmentation progressive de , le jet prenant alors de plus en plus d' importance . Mais d' après les remarques précédentes sur les rapports , il y a toujours la même proportion de fluide des deux jets incidents dans les jets résultants . Notons une très faible différence entre les valeurs des angles et et les largeurs et calculées numériquement et les valeurs analytiques pour les configurations extrêmes . Elles proviennent certainement du phénomène de tassement qui empêche d' atteindre les points à l' infini . I.17.6 . Conclusion D' après l' ensemble des résultats présentés , nous pouvons supposer avoir résolu numériquement le problème de l' impact de deux jets bidimensionnels quelconques . La seule limitation qui apparaisse au niveau de la résolution est le classique tassement des points ( « crowding » ) . Ceci est d' autant plus vrai que le rapport des largeurs des jets et ( on choisit ) et que l' angle d' impact ( ) sont importants . Dans ce cas là , la précision de calcul de la machine et ce phénomène limite le tracé de la ligne de séparation et des lignes de jet au niveau des points représentant l' infini . La résolution du problème se fait en considérant un problème aux limites et ne fait pas intervenir d' autres contraintes . Ceci confirme le fait que le problème est entièrement déterminé par la donnée des longueurs des jets incidents et de leur inclinaison respective , contrairement à ce qui a été publié dans la littérature jusqu'à présent . Construire la ligne de séparation entre les deux jets apparaît donc comme étant beaucoup plus efficace que d' utiliser le théorème des quantités de mouvement . Mais d' après les dernières remarques sur l' existence et l' unicité de la solution , nous pouvons nous demander si une telle méthode de résolution est nécessaire puisqu' il est possible de déterminer analytiquement les valeurs des largeurs de jets en sortie . Le théorème des quantités de mouvement donne , avec cette condition , la solution au problème de l' impact de deux jets . L' objectif de ce travail a été l' étude de différents types d' écoulements réels ou réalistes . Les écoulements sont considérés de manière générale comme étant bidimensionnels , stationnaires et irrotationnels et le fluide parfait , non pesant et incompressible . Les sillages ont été modélisés par une zone de fluide mort s' étendant à l' infini et où la pression est constante . Suivant les cas , cette dernière est calculée ou égale à la pression à l' infini amont . Une méthode numérique développée précédemment au Laboratoire de Mécanique et d' Energétique est ainsi appliquée aux écoulements avec sillage épais ainsi qu' aux jets . Les frontières peuvent être de deux types : parois solides ( obstacle ou canalisation ) définissant la direction locale de la vitesse ou des lignes de courant ( sillage , jet , surface libre ) sur lesquelles la vitesse est constante en module . Il s' agit d' une méthode de traitement itérative qui fait alterner les transformations conformes des domaines de l' écoulement dans le plan physique ( z ) et celui du potentiel ( f ) sur le disque ( ou demi-disque ) unité avec la résolution d' un problème mixte aux limites sur la fonction Q ou ? liée à la vitesse complexe . Cette méthode permet de traiter des écoulements dont les parois solides sont de géométrie quelconque ( et sans en connaître l' équation analytique ) , en tenant compte , éventuellement , de la pesanteur . De plus , le temps de calcul est relativement faible ( quelques minutes à deux heures ) . Une des principales limitations de la méthode est un phénomène classique : le «  crowding  » . Ce tassement des points au voisinage des points représentant l' infini limite la détermination des lignes de courant ou des parois inconnues . Il a été observé dans l' étude du chapitre V , dans lequel les jets n' ont pas pu être définis au-delà de quelques largeurs après la zone d' impact , que se soit pour l' impact sur un mur ou entre deux jets , ce qui n' a pas empêché le traitement du problème de l' impact entre deux jets quelconques , qui n' était toujours pas traité jusqu'à présent . Un second phénomène limitant l' application de notre méthode est lié au problème mixte et en particulier au nombre de zones sur le cercle . La limitation n' intervient pas , comme nous l' avons vu , au niveau de la résolution du problème qui donne des résultats satisfaisants pour un nombre de zones important . La multiplication des zones nécessite la détermination d' équations supplémentaires pour définir la position des extrémités des zones , ce qui complique beaucoup la résolution du système itératif . D' autres méthodes numériques de traitement de ce type d' écoulements ont été développées au cours des dernières années . Elles permettent , suivant les cas , de valider nos résultats numériques . Malheureusement , elles ne sont pas toujours valables pour des géométries quelconques de parois solides , ce qui limite la comparaison aux configurations avec des parois élémentaires comme des portions de droites et des arcs de cercle . La concordance entre les différents résultats est , la plupart de temps correcte . Comme notre méthode de résolution est destinée à l' étude d' écoulements réalistes , nous avons souhaité comparer les résultats numériques et expérimentaux . Des essais en écoulement bidimensionnel ont donc été réalisé et la géométrie des lignes de sillage a pu être définie principalement grâce à la PIV . Les différents résultats obtenus ont montrés une correspondance tout à fait correcte entre la numérisation et l' expérience . Ceci peut sembler être étonnant vu les hypothèses simplificatrices de la méthode et les modèles de représentation du sillage , qui s' étend à l' infini contrairement à la réalité . Il apparaît donc que l' hypothèse de fluide parfait est moins contraignante que celle de bidimensionnalité , pour l' utilisation de notre méthode numérique à la représentation d' écoulements physiques . Enfin , l' étude préliminaire sur les voiles souples a permis d' ouvrir une nouvelle voie de développement de la méthode . Ce type de problème , avec sillage décollé et présence d' un mât rigide à l' avant , n' est pas du tout abordé jusqu'à présent dans la littérature . Cette étude dans le domaine de l' hydrodynamique , où l' hypothèse de bidimensionnalité est tolérable , va faire l' objet d' une future thèse afin de pouvoir tenir compte de l' influence d' éventuelles poches de fluide mort . Le couplage avec un code de calcul de couche limite sera nécessaire pour pouvoir déterminer la position des points de décollement . Le cas de l' interaction de deux voiles avec sillage mince ou épais ( ce qui nécessite la résolution d' un problème mixte à quatre zones quelconques ) est également envisagée . BIRKHOFF G. , ZARANTONELLO E. H. Jets , Wakes , and Cavities , Academic Press , 1957 . BLOOR M . I. G . Large amplitude surface waves , Journal of Fluid Mechanics , 1978 , vol. 84 ( 1 ) , p . 167 - 179 . BRUUN H. H. Hot-Wire Anemometry . Principles and Signal Analysis , Oxford Science Publications , 1995 . COOKER M. J. , PEREGRINE D. H. Pressure-impulse theory for liquid impact problems , Journal of Fluid Mechanics , 1995 , vol. 297 , p . 193 - 214 . DABOUSSY D. , DIAS F. , VANDEN-BROECK J . - M . Gravity flows with a free surface of finite extent , European Journal of Mechanics B / Fluids , 1998 , vol. 17 ( 1 ) , p . 19 - 31 . DIAS F. , ELCRAT A. R. 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( I.94 ) Annexe 1   : Le modèle de Helmholtz La modélisation des sillages de Helmholtz considère une zone infinie à l' arrière de l' obstacle , délimitée par deux lignes de courant , et dans laquelle la pression est constante et égale à la pression à l' infini amont ( ) . Figure 1 : Modèle à sillage de Helmholtz . Considérons un obstacle placé dans un écoulement uniforme de vitesse parallèle à l' axe d' un repère cartésien . Soit A le point d' arrêt de l' écoulement sur l' obstacle et B et C les points de décollement dont la position est connue ( figure 1 ) . La paroi mouillée de l' obstacle a pour longueur et les abscisses curviligne sur celle  -ci seront prises entre 0 et . Les conditions aux limites s' écrivent ( avec les notations habituelles utilisées dans ce mémoire ) : Nous utiliserons la fonction ? de Levi-Civita afin de définir la vitesse complexe dans le plan de calcul ( ? ) . Les frontières de l' écoulement , dans le plan physique ( z ) , sont transformées conformément sur le demi-cercle unité supérieur de ( ? ) . Plusieurs transformations conformes successives sont utilisées pour cela . Le domaine de l' écoulement dans chacun des plans utilisés est représenté sur la figure 2 . A partir de ces différentes transformations il est donc possible d' exprimer la relation faisant passer du plan de calcul ( ? ) à celui du potentiel complexe . Elle apparaît sous la forme : . Figure 2 : Plans de transformation conforme . Cette relation nous permet , avec la définition de la vitesse complexe et de la fonction ? , de définir la variation de position dz sur les frontières physiques de l' écoulement . ( 1 ) La fonction ? est connue sur l' ensemble du demi-cercle dans le plan ( ? ) . Nous avons donc à résoudre un problème de Dirichlet afin de déterminer la fonction ? sur l' ensemble du domaine de l' écoulement . Ceci est réalisé pour la formule de Schwarz-Villat qui s' écrit ici : . L' écoulement présente une singularité au point d' arrêt . Le traitement est classique et se fait en séparant une fonction singulière en A d' une fonction continue : . La tangente à la paroi solide par rapport à l' axe ( valeur confondue avec la fonction faisant correspondre angle et position dans le plan de calcul ) est notée ? et la correspondance entre les frontières ? . On a alors La fonction singularité peut se mettre sous la forme ( 2 ) comme dans le cas de la singularité sur une plaque plane . Nous avons alors , pour la fonction , la relation . ( 3 ) La fonction sur l' ensemble des frontières est donc définie par : . ( 4 ) La fonction est déterminée par la relation de Scharwz-Villat , et s' écrit sur le demi-cercle  : . ( 5 ) La reconstruction de la fonction ? se fait par l' expression de l' élément ds représentant une variation élémentaire d' abscisse curviligne sur la paroi mouillée de l' obstacle . On peut alors écrire : ( 6 ) avec et . La seule grandeur encore inconnue est l' argument ? du point d' arrêt A dans le plan de calcul ( ? ) . Elle s' obtient en considérant l' expression de la vitesse à l' infini amont , ce qui s' écrit , d' où , d' après la relation de Schwarz-Villat , . ( 7 ) Toutes les grandeurs sont alors définies et il est possible d' écrire le système itératif relaxé de la série qui permet la résolution du problème en utilisant le modèle de Helmholtz pour définir le sillage , à partir d' une solution initiale  : A la convergence du système ( atteinte après quelques itérations pour un temps de calcul de l' ordre de la minute sur un micro-ordinateur avec processeur PENTIUM 300 MHz ) , il est possible de calculer la répartition de pression sur l' obstacle et de tracer les lignes de sillage par reconstruction de la ligne dans le plan physique . Un organigramme général succinct est présenté sur la figure 3 . Figure 3 : Organigramme . Annexe 2 : Le modèle de Joukowski ( parois virtuelles ) Le modèle des parois virtuelles utilisé afin de modéliser un sillage épais à l' arrière d' un obstacle se différencie de celui de Helmholtz par le fait que la pression dans la poche , qui est toujours constante , est différente de la pression à l' infini amont . Ceci est réalisé par deux plaques planes virtuelles placées horizontalement après l' obstacle ( figure 1 ) . La modélisation que nous présentons ici rapidement a été réalisée par Toison ( 1998 ) et fait appel à la résolution d' un problème mixte à quatre zone simplement symétrique ( par rapport à l' axe des abscisses ) . Figure 1 : Schéma de principe . Soit un obstacle de forme quelconque , mais connue , placé dans un écoulement bidimensionnel de fluide parfait , de vitesse et de pression à l' infini amont . Notons B et F les points de décollement supérieur et inférieur sur l' obstacle , et A le point d' arrêt de l' écoulement sur l' obstacle . Le sillage est délimité par les lignes de courant LBC et LFE au départ de l' obstacle qui sont prolongées à l' infini par les parois planes virtuelles CD et ED . Le traitement de ce problème se fait toujours par la même méthode . Nous utiliserons ici la fonction de Joukowski Q afin d' appliquer le principe de symétrie de Schwarz pour prolonger l' étude du demi-disque unité supérieur à l' ensemble du disque unité dans le plan de calcul ( ? ) . La figure 2 nous montre les différents plans de transformation utilisés . Figure 2 : Plans des transformations conformes . Ces différentes relations nous permettent de définir l' expression de df représentant un déplacement élémentaire dans le domaine de l' écoulement dans le plan ( f ) du potentiel complexe . Ceci nous permet de définir le déplacement correspondant dans le plan physique par la relation classique : . ( 1 ) Nous avons donc pour df : sur le cercle unité ( 2 ) et sur le diamètre réel ( parois virtuelles ) . ( 3 ) Le traitement de la singularité au point d' arrêt est réalisé en séparant une fonction continue d' une fonction singulière présentant la même singularité que Q : . La résolution du problème mixte sur le cercle unité ( il y a alternance de frontières de type solide et lignes de courant ) se fait sur la fonction continue . Nous ne développerons pas ici la résolution de ce problème mixte ( cf. Toison ( 1998 ) ) . Utilisons les notations classiques pour définir la fonction Q : avec sur les frontières . Nous avons alors les relations suivantes pour définir la singularité de vitesse au point d' arrêt : ( 4 ) et , ( 5 ) d' où , et donc . ( 6 ) La détermination de la fonction ? sur les portions de courbe représentant les parois est réalisée à partir des tangentes ? sur ces dernières . Sur les arcs de cercle représentant les lignes de courant LFE et LBC , c' est la fonction ? qui est connue par le biais du coefficient de pression dans la poche  : ( 7 ) avec . A partir d' une répartition initiale et de valeurs initiales pour les coefficients , d , et , il est donc possible de résoudre le problème mixte dans le plan de calcul ( ? ) afin de déterminer la fonction Q sur l' ensemble du domaine de l' écoulement . Il reste donc à déterminer de nouvelles valeurs pour ces quatre valeurs . Tout d' abord , la détermination de d est réalisée en utilisant la condition aux limites sur la vitesse à l' infini aval ( au point D ) : , se qui s' écrit également avec nos notations : . ( 8 ) A partir de cette nouvelle valeur de d , il est alors possible de déterminer de nouvelles positions pour les points de décollement sur le cercle afin que les longueurs LAF et LBC soient vérifiées . Ceci est réalisé par intégration du terme sur les intervalles et . Le coefficient doit être le même pour les deux calculs . De manière pratique , ceci est réalisé par itérations successives dans une boucle interne . Il est alors possible de reconstruire une nouvelle répartition représentant la correspondance entre la position du point dans le plan physique et celle dans le plan de calcul . Mais pour pouvoir effectuer un nouvelle itération du système global de résolution , il reste à définir une nouvelle valeur de coefficient de pression dans la poche , afin de définir sur les lignes de courant . Ceci est réalisé à partir du calcul du coefficient de traînée par le théorème des quantités de mouvement dans le domaine S définit sur la figure 1 : ( 9 ) avec h la hauteur de la bande de fluide délimité par les parois virtuelles . Cette hauteur est déterminée en traçant les lignes de courant LFE et LBC ( par intégration de dz sur les arcs de cercle correspondant ) . La fonction Cp est déterminée , quant à elle , grâce à la fonction ? . Finalement , un nouvelle position du point d' arrêt dans le plan physique de l' écoulement est déterminée de telle sorte que la condition d' existence du problème mixte tende à se vérifier . Cette dernière s' écrit , dans notre cas : ( 10 ) Un organigramme succinct de la méthode de résolution des écoulements bidimensionnels de fluide parfait utilisant la modélisation avec parois virtuelles est présentée figure 3 . Figure 3 : Organigramme .